Cho các số thực $x,y$ dương thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left(...

Phương pháp:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Ta có:
${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{3xy+{{x}^{2}}} \right)+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+1\le 3xy(x,y>0)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( 3xy+{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+1\le 3xy$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)+2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le {{\log }_{2}}\left( 3xy+{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}+3xy\left( * \right)$
Xét hàm số $f(t)={{\log }_{2}}t+t(t>0)\text{c }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{ : }{{f}^{\prime }}(t)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0$ ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}} \right)\le f\left( 3xy+{{x}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}\le 3xy+{{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3xy+2{{y}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-3\cdot \dfrac{x}{y}+2\le 0(\text{ do }y>0)$
$\Leftrightarrow 1\le \dfrac{x}{y}\le 2$
Ta có: $P=\dfrac{2{{x}^{2}}-xy+2{{y}^{2}}}{2xy-{{y}^{2}}}=\dfrac{2{{\left( \dfrac{x}{y} \right)}^{2}}-\dfrac{x}{y}+2}{2.\dfrac{x}{y}-1}=\dfrac{2{{t}^{2}}-t+2}{2t-1}(t\in [1;2])$
$=t+\dfrac{2}{2t-1}=\left( t-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{t-\dfrac{1}{2}} \right)+\dfrac{1}{2}\ge 2\sqrt{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)\cdot \dfrac{1}{t-\dfrac{1}{2}}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $t-\dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{2}(\text{TM})$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=\dfrac{5}{2}$ khi và chỉ khi $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{2}.$