Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1,$ tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{{{\left( 2y-1...

+ Từ giả thiết suy ra: $x,y\in \left[ -1;1 \right].$
+ $P=\sqrt{{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}{{x}^{2}}+{{\left( 2{{y}^{2}}-y \right)}^{2}}}+\sqrt{2y+2}=\sqrt{{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}+\sqrt{2y+2}=\left| 2y-1 \right|+\sqrt{2y+2}$
+ Đặt $P=f\left( y \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 2y-1+\sqrt{2y+2},\dfrac{1}{2}\le y\le 1 \\
& -2y+1+\sqrt{2y+2},-1\le y\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
+ Xét $f\left( y \right)$ trên $\left[ \dfrac{1}{2};1 \right]$ : Khảo sát ta được $\underset{\left[ \dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( y \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{3};\underset{\left[ \dfrac{1}{2};1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( y \right)=f\left( 1 \right)=3.$
+ Xét $f\left( y \right)$ trên $\left[ -1;\dfrac{1}{2} \right]$ : Khảo sát ta được $\underset{\left[ -1;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\min }} f\left( y \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{3};\underset{\left[ -1;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\max }} f\left( y \right)=f\left( -\dfrac{7}{8} \right)=\dfrac{13}{4}.$
+ Suy ra: $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( y \right)=\sqrt{3};\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( y \right)=\dfrac{13}{4}.$