Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{\log...

Phương trình $\Leftrightarrow $ $2{{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}{2\left( x+y \right)}=2\left( x+y \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)$
Đặt $u={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1$, $v=2\left( x+y \right)$ với $u,v>0$ thì $2{{\log }_{2}}\dfrac{u}{v}=v-u$
$\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}u+u=2{{\log }_{2}}v+v$ (*)
Xét $f\left( t \right)=2{{\log }_{2}}t+t$ với $t>0$. Dễ thấy $f'\left( t \right)=\dfrac{2}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0$.
Suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow u=v\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1$.
Gọi $M\left( x;y \right)$ $\Rightarrow M\in \left( C \right):$ tâm $I\left( 1;1 \right)$, bán kính $R=1$.
Mặt khác $P=\dfrac{2x+3y}{x+y+1}\Rightarrow M\in \Delta :\left( P-2 \right)x+\left( P-3 \right)y+P=0$.
Để tồn tại điểm chung giữa $\Delta $ và $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 3P-5 \right|}{\sqrt{{{\left( P-2 \right)}^{2}}+{{\left( P-3 \right)}^{2}}}}\le 1$
$\Leftrightarrow 7{{P}^{2}}-20P+12\le 0\Leftrightarrow \dfrac{6}{7}\le P\le 2$.
Suy ra $\max P=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1 \\
& -y+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right.$.