Google
Câu hỏi: Cho các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn ${{\log }_{{{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}}}\left( 9x+10y-20 \right)=1$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $S=\dfrac{y}{x}$. Tính $M+m$.
A. $M+m=\dfrac{5}{3}$.
B. $M+m=\sqrt{5}+\sqrt{2}$.
C. $M+m=2\sqrt{7}$.
D. $M+m=\dfrac{7}{2}$.
A. $M+m=\dfrac{5}{3}$.
B. $M+m=\sqrt{5}+\sqrt{2}$.
C. $M+m=2\sqrt{7}$.
D. $M+m=\dfrac{7}{2}$.
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 9x+10y-20>0 \\
& {{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $. Có $ S=\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow y=Sx$.
Giả thiết ${{\log }_{{{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}}}\left( 9x+10y-20 \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}=9x+10y-20$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+S{{x}^{2}}+2{{S}^{2}}{{x}^{2}}=9x+10Sx-20\Leftrightarrow \left( 2{{S}^{2}}+S+1 \right){{x}^{2}}-\left( 9+10S \right)x+20=0$ $\left( 1 \right)$.
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì
$\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( 9+10S \right)}^{2}}-80\left( 2{{S}^{2}}+S+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow -60{{S}^{2}}+100S+1\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{25-8\sqrt{10}}{30}\le S\le \dfrac{25+8\sqrt{10}}{30}$.
Suy ra $M={{S}_{1}}=\dfrac{25+8\sqrt{10}}{30}$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{9+10{{S}_{1}}}{2\left( 2{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{1}}+1 \right)}>0 \\
& y={{S}_{1}}x>0 \\
\end{aligned} \right.$
$m={{S}_{2}}=\dfrac{25-8\sqrt{10}}{30}$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{9+10{{S}_{2}}}{2\left( 2{{S}_{2}}^{2}+{{S}_{2}}+1 \right)}>0 \\
& y={{S}_{2}}x>0. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M+m=\dfrac{5}{3}$.
& 9x+10y-20>0 \\
& {{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $. Có $ S=\dfrac{y}{x}\Leftrightarrow y=Sx$.
Giả thiết ${{\log }_{{{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}}}\left( 9x+10y-20 \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy+2{{y}^{2}}=9x+10y-20$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+S{{x}^{2}}+2{{S}^{2}}{{x}^{2}}=9x+10Sx-20\Leftrightarrow \left( 2{{S}^{2}}+S+1 \right){{x}^{2}}-\left( 9+10S \right)x+20=0$ $\left( 1 \right)$.
Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì
$\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{\left( 9+10S \right)}^{2}}-80\left( 2{{S}^{2}}+S+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow -60{{S}^{2}}+100S+1\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{25-8\sqrt{10}}{30}\le S\le \dfrac{25+8\sqrt{10}}{30}$.
Suy ra $M={{S}_{1}}=\dfrac{25+8\sqrt{10}}{30}$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{9+10{{S}_{1}}}{2\left( 2{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{1}}+1 \right)}>0 \\
& y={{S}_{1}}x>0 \\
\end{aligned} \right.$
$m={{S}_{2}}=\dfrac{25-8\sqrt{10}}{30}$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{9+10{{S}_{2}}}{2\left( 2{{S}_{2}}^{2}+{{S}_{2}}+1 \right)}>0 \\
& y={{S}_{2}}x>0. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M+m=\dfrac{5}{3}$.
Đáp án A.