Cho các số thực dương $a,b$ khác $1$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}a={{\log }_{b}}16$ và $ab=64.$ Giá trị của biểu thức ${{\left( {{\log...

Phương pháp:
- Sử dụng các công thức
${{\log }_{a}}{{x}^{m}}=m{{\log }_{a}}x\left( 0<a\ne 1,x>0 \right)$
${{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a}\left( 0<a,b\ne 1 \right)$
${{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right).$
${{\log }_{a}}\dfrac{x}{y}={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right).$
- Tìm ${{\log }_{2}}a.{{\log }_{2}}b,{{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b.$
- Sử dụng biến đổi ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab.$
Cách giải:
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}a={{\log }_{b}}16 \\
& ab=64 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}a=4{{\log }_{b}}2=\dfrac{4}{{{\log }_{2}}b} \\
& {{\log }_{2}}\left( ab \right)={{\log }_{2}}64=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}a.{{\log }_{2}}b=4 \\
& {{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b=6 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy ${{\left( {{\log }_{2}}\dfrac{a}{b} \right)}^{2}}={{\left( {{\log }_{2}}a-{{\log }_{2}}b \right)}^{2}}={{\left( {{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}b \right)}^{2}}-4{{\log }_{2}}a.{{\log }_{2}}b={{6}^{2}}-4.4=20.$