Google
Câu hỏi: Cho các số thực $b , c$ sao cho phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm phức ${{z}_{1}} ; {{z}_{2}} $ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-3+3i \right|=\sqrt{2}$ và $\left( {{z}_{1}} +2i \right)\left( {{z}_{2}} -2 \right)$ là số thuần ảo. Khi đó, $b+c$ bằng
A. $-1$.
B. $12$.
C. $4$.
D. $-12$.
A. $-1$.
B. $12$.
C. $4$.
D. $-12$.
Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực $x ; y$ thì $\left|z_{1}-3+3 i\right|=|(x-3)+3 i|=\sqrt{(x-3)^{2}+9}>\sqrt{2}$ mâu thuẫn với giả thiết.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với $z_{1}=x+y i \Rightarrow z_{2}=\overline{z_{1}}=x-y i$.
Khi đó giả thiết môđun tương đương với $\left|z_{1}-3+3 i\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=2 \quad(1)$.
Và $\left(z_{1}+2 i\right)\left(z_{2}-2\right)=[x+(y+2) i] \cdot[(x-2)-y i]=x \cdot(x-2)+y \cdot(y+2)+[(x-2) \cdot(y+2)-x y] \cdot i$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 tức:
$x \cdot(x-2)+y \cdot(y+2)=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=0$ (2).
Giải hệ gồm (1) và (2): $\left\{\begin{array}{l}(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=2 \\ x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-2\end{array}\right.\right.$
$\Rightarrow z_{1}=2-2 \mathrm{i} ; z_{2}=2+2 \mathrm{i}$
Vì vậy theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}z_{1}+z_{2}=-b=(2-2 \mathrm{i})+(2+2 \mathrm{i})=4 \\ z_{1} \cdot z_{2}=c=(2-2 \mathrm{i}) \cdot(2+2 \mathrm{i})=8\end{array} \Rightarrow b+c=-4+8=4\right.$.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với $z_{1}=x+y i \Rightarrow z_{2}=\overline{z_{1}}=x-y i$.
Khi đó giả thiết môđun tương đương với $\left|z_{1}-3+3 i\right|=\sqrt{2} \Leftrightarrow(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=2 \quad(1)$.
Và $\left(z_{1}+2 i\right)\left(z_{2}-2\right)=[x+(y+2) i] \cdot[(x-2)-y i]=x \cdot(x-2)+y \cdot(y+2)+[(x-2) \cdot(y+2)-x y] \cdot i$ là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 tức:
$x \cdot(x-2)+y \cdot(y+2)=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=0$ (2).
Giải hệ gồm (1) và (2): $\left\{\begin{array}{l}(x-3)^{2}+(y+3)^{2}=2 \\ x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-2\end{array}\right.\right.$
$\Rightarrow z_{1}=2-2 \mathrm{i} ; z_{2}=2+2 \mathrm{i}$
Vì vậy theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}z_{1}+z_{2}=-b=(2-2 \mathrm{i})+(2+2 \mathrm{i})=4 \\ z_{1} \cdot z_{2}=c=(2-2 \mathrm{i}) \cdot(2+2 \mathrm{i})=8\end{array} \Rightarrow b+c=-4+8=4\right.$.
Đáp án C.