Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn $a>1,b>1$ và ${{a}^{2x}}={{b}^{2y}}=\sqrt{ab}.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=6x+{{y}^{2}}$ bằng:

Phương pháp:
- Từ giả thiết ${{a}^{2x}}={{b}^{2y}}=\sqrt{ab}$ tìm $x,y$ theo ${{\log }_{b}}a.$
- Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{b}}a\left( t>0 \right),$ đưa về biểu thức $P$ và dạng hàm số ẩn $t.$
- Lập BBT và tìm GTNN của $P$ với $t>0.$
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
${{a}^{2x}}={{b}^{2y}}=\sqrt{ab}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x={{\log }_{a}}\sqrt{ab}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}{{\log }_{a}}b \\
& 2y={{\log }_{b}}\sqrt{ab}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}{{\log }_{b}}a \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{{{\log }_{b}}a} \\
& y=x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.{{\log }_{b}}a \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{\log }_{b}}a,$ vì $a>1,b>1\Rightarrow t={{\log }_{b}}a>{{\log }_{b}}1=0$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{t} \\
& y=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.t \\
\end{aligned} \right.\left( t>0 \right)$
Khi đó ta có:
$P=6x+{{y}^{2}}=6\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{t} \right)+{{\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}t \right)}^{2}}$
$P=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}t+\dfrac{1}{16}{{t}^{2}}$
$P=\dfrac{1}{16}{{t}^{2}}+\dfrac{1}{8}t+\dfrac{3}{2t}+\dfrac{25}{16}\left( t>0 \right)$
Ta có
$P'=\dfrac{1}{8}t+\dfrac{1}{8}-\dfrac{3}{2{{t}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-12}{8{{t}^{2}}}$
$P'=0\Leftrightarrow {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-12=0\Leftrightarrow t=2\left( tm \right)$
BBT:

Vậy ${{P}_{\min }}=P\left( 2 \right)=\dfrac{45}{16}.$