Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>\dfrac{1}{2},b>1$. Khi biểu thức $P={{\log }_{2a}}b+{{\log }_{\sqrt{b}}}\left( {{a}^{4}}-4{{a}^{2}}+16 \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng $a+b$ bằng
A. $4$.
B. $18$.
C. $14$.
D. $20$.
A. $4$.
B. $18$.
C. $14$.
D. $20$.
Do ${{a}^{4}}-4{{a}^{2}}+16\ge 4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-4 \right)}^{2}}\ge 0$ đúng $\forall a>\dfrac{1}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $a=2$.
Suy ra:
$P\ge {{\log }_{2a}}b+2{{\log }_{b}}{{\left( 2a \right)}^{2}}={{\log }_{2a}}b+4{{\log }_{b}}\left( 2a \right)={{\log }_{2a}}b+\dfrac{4}{{{\log }_{2a}}b}\ge 2\sqrt{{{\log }_{2a}}b.\dfrac{4}{{{\log }_{2a}}b}}=4$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& {{\log }_{2a}}b=\dfrac{4}{{{\log }_{2a}}b} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& {{\log }_{2a}}b=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=16 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=18$.
Suy ra:
$P\ge {{\log }_{2a}}b+2{{\log }_{b}}{{\left( 2a \right)}^{2}}={{\log }_{2a}}b+4{{\log }_{b}}\left( 2a \right)={{\log }_{2a}}b+\dfrac{4}{{{\log }_{2a}}b}\ge 2\sqrt{{{\log }_{2a}}b.\dfrac{4}{{{\log }_{2a}}b}}=4$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& {{\log }_{2a}}b=\dfrac{4}{{{\log }_{2a}}b} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& {{\log }_{2a}}b=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=16 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b=18$.
Đáp án B.