Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $a > \frac{1}{2}, b > 1$ . Khi biểu thức...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Cho các số thực

a, b

thỏa mãn

a > \frac{1}{2}, b > 1

. Khi biểu thức

P = \log_{2 a} b + \log_{\sqrt{b}} (a^{4} - 4 a^{2} + 16)

đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng

a + b

bằng
A.

4

.
B.

18

.
C.

14

.
D.

20

.

Do

a^{4} - 4 a^{2} + 16 \geq 4 a^{2} \Leftrightarrow {(a^{2} - 4)}^{2} \geq 0

đúng

\forall a > \frac{1}{2}

. Dấu bằng xảy ra khi

a = 2

.
Suy ra:

P \geq \log_{2 a} b + 2 \log_{b} {(2 a)}^{2} = \log_{2 a} b + 4 \log_{b} (2 a) = \log_{2 a} b + \frac{4}{\log_{2 a} b} \geq 2 \sqrt{\log_{2 a} b . \frac{4}{\log_{2 a} b}} = 4

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

{\begin{aligned} a = 2 \\ \log_{2 a} b = \frac{4}{\log_{2 a} b} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 \\ \log_{2 a} b = 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 \\ b = 16 \end{aligned} \Rightarrow a + b = 18

.

Đáp án B.

Cho các số thực a,b thỏa mãn a>12,b>1. Khi biểu thức...