Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ và thỏa mãn $\log _{\sqrt{a}}^{2}b+{{\log }_{b}}c.{{\log }_{b}}\left(...

Phương pháp:
- Biến đổi phương trình đề bài cho, sử dụng các công thức
$\begin{aligned}
& {{\log }_{{{a}^{n}}}}x=\dfrac{1}{n}{{\log }_{a}}x\left( 0<a\ne 1,x>0 \right) \\
& {{\log }_{a}}\dfrac{x}{y}={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right) \\
\end{aligned} $, đưa phương trình đã cho xuất hiện các biến dạng $ {{\log }_{a}}b,{{\log }_{b}}c.$
- Đặt $x={{\log }_{a}}b,y={{\log }_{b}}c,$ chứng minh $x,y>0,$ đưa về phương trình dạng tích.
- Giải phương trình tích, tìm mối quan hệ giữa $x,y.$
- Tính giá trị biểu thức ${{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}{{c}^{2}}$ theo $x,y.$
Cách giải:
Ta có:
$\log _{\sqrt{a}}^{2}b+{{\log }_{b}}c.{{\log }_{b}}\left( \dfrac{{{c}^{2}}}{b} \right)+9{{\log }_{a}}c=4{{\log }_{a}}b$
$\Leftrightarrow 4\log _{a}^{2}b+{{\log }_{b}}c.\left( 2{{\log }_{b}}c-1 \right)+9{{\log }_{a}}c=4{{\log }_{a}}b$
$\Leftrightarrow 4\log _{a}^{2}b+2\log _{b}^{2}c-{{\log }_{b}}c+9{{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c=4{{\log }_{a}}b\left( * \right)$
Đặt $x={{\log }_{a}}b,y={{\log }_{b}}c,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& x={{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}1=0 \\
& y={{\log }_{b}}c>{{\log }_{b}}1=0 \\
\end{aligned} \right.\left( doa,b,c>1 \right).$
Khi đó phương trình (*) trở thành:
$4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-y+9xy=4x$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+xy+8xy+2{{y}^{2}}-y-4x=0 \\
& \Leftrightarrow x\left( 4x+y \right)+2y\left( 4x+y \right)-\left( 4x+y \right)=0 \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left( 4x+y \right)\left( x+2y-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4x+y=0 \\
& x+2y-1=0 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $y=-4x$ loại do $x,y>0.$
TH2: $x+2y-1=0\Leftrightarrow x+2y=1,$ khi đó ta có: ${{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}{{c}^{2}}=x+2y=1.$