Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a,b,c,d$ thoả mãn $\dfrac{1}{{{2}^{a}}}+\dfrac{1}{{{4}^{b}}}+\dfrac{1}{{{8}^{c}}}+\dfrac{1}{{{16}^{d}}}=\dfrac{1}{4}$. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=a+2b+3c+4\text{d}$. Giá trị của biểu thức ${{\log }_{2}}m$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $4$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $\dfrac{1}{4}$.
D. $4$.
Với mọi số thực ${a, b, c, d}$, ta có:
${
\begin{aligned}
&\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{4^b}+\dfrac{1}{8^c}+\dfrac{1}{16^d}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{2^{2 b}}+\dfrac{1}{2^{3 c}}+\dfrac{1}{2^{4 d}} \geq 4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^a \cdot 2^{2 b} \cdot 2^{3 c} \cdot 2^{4 d}}}=4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}}} \\
&\Leftrightarrow \dfrac{1}{65536} \geq \dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}} \Leftrightarrow 2^{a+2 b+3 c+4 d} \geq 65536 \Leftrightarrow a+2 b+3 c+4 d \geq 16
\end{aligned}
}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${\dfrac{1}{2^a}=\dfrac{1}{2^{2 b}}=\dfrac{1}{2^{3 c}}=\dfrac{1}{2^{4 d}}=\dfrac{1}{16} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=2 \\ c=\dfrac{4}{3} \\ d=1\end{array}\right.}$
Do đó ${m=16 \Rightarrow \log _2 m=\log _2 16=4}$
${
\begin{aligned}
&\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{4^b}+\dfrac{1}{8^c}+\dfrac{1}{16^d}=\dfrac{1}{2^a}+\dfrac{1}{2^{2 b}}+\dfrac{1}{2^{3 c}}+\dfrac{1}{2^{4 d}} \geq 4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^a \cdot 2^{2 b} \cdot 2^{3 c} \cdot 2^{4 d}}}=4 \cdot \sqrt[4]{\dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}}} \\
&\Leftrightarrow \dfrac{1}{65536} \geq \dfrac{1}{2^{a+2 b+3 c+4 d}} \Leftrightarrow 2^{a+2 b+3 c+4 d} \geq 65536 \Leftrightarrow a+2 b+3 c+4 d \geq 16
\end{aligned}
}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${\dfrac{1}{2^a}=\dfrac{1}{2^{2 b}}=\dfrac{1}{2^{3 c}}=\dfrac{1}{2^{4 d}}=\dfrac{1}{16} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ b=2 \\ c=\dfrac{4}{3} \\ d=1\end{array}\right.}$
Do đó ${m=16 \Rightarrow \log _2 m=\log _2 16=4}$
Đáp án C.