Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a,b>1$ và phương trình ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2021$ có hai nghiệm phân biệt $m,n.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left( 4{{a}^{2}}+25{{b}^{2}} \right)\left( 100{{m}^{2}}{{n}^{2}}+1 \right)$ bằng:
A. 200
B. $174$
C. 404
D. 400
A. 200
B. $174$
C. 404
D. 400
Phương pháp:
- Từ giả thiết ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2021$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $\ln x.$
- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai tìm tích $abmn.$
- Tìm GTNN của biểu thức $P$ nhờ BĐT Cô-si.
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2021\left( x>0 \right)$
$\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2021$
$\Leftrightarrow 1+{{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x=2021$
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x=2020$
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln x}{\ln a}.\dfrac{\ln x}{\ln b}+\dfrac{\ln x}{\ln a}+\dfrac{\ln x}{\ln b}=2020$
$\Leftrightarrow {{\ln }^{2}}x+\left( \ln a+\ln b \right)\ln x-2020\ln a.\ln b=0$
$\Leftrightarrow {{\ln }^{2}}x+\ln \left( ab \right)\ln x-2020\ln a.\ln b=0$
Đặt $t=\ln x,$ phương trình trở thành ${{t}^{2}}+\ln \left( ab \right).t-2020\ln a.\ln b=0\left( * \right)$
Vì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt nên $\Delta ={{\ln }^{2}}\left( ab \right)+8080\ln a.\ln b>0.$
Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $m,n$ nên phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\ln m \\
& {{t}_{2}}=\ln n \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có $\ln m+\ln n=-\ln \left( ab \right)\Leftrightarrow mn=\dfrac{1}{ab}\Leftrightarrow mnab=1.$
Do $a,b>1\Rightarrow mn>0.$
Xét $P=\left( 4{{a}^{2}}+25{{b}^{2}} \right)\left( 100{{m}^{2}}{{n}^{2}}+1 \right)$ ta có
$\Rightarrow P\ge 2\sqrt{4{{a}^{2}}.25{{b}^{2}}}.2\sqrt{100{{m}^{2}}{{n}^{2}}.1}$
$\Rightarrow P\ge 2.10ab.20mn=400abmn\ge 400$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=5b \\
& 10mn=1=\dfrac{10}{ab} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=5b \\
& ab=10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=5 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{P}_{\min }}=400\Leftrightarrow a=5,b=2.$
- Từ giả thiết ${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2021$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $\ln x.$
- Sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai tìm tích $abmn.$
- Tìm GTNN của biểu thức $P$ nhờ BĐT Cô-si.
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
${{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2021\left( x>0 \right)$
$\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2021$
$\Leftrightarrow 1+{{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x=2021$
$\Leftrightarrow {{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x+{{\log }_{a}}x+{{\log }_{b}}x=2020$
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln x}{\ln a}.\dfrac{\ln x}{\ln b}+\dfrac{\ln x}{\ln a}+\dfrac{\ln x}{\ln b}=2020$
$\Leftrightarrow {{\ln }^{2}}x+\left( \ln a+\ln b \right)\ln x-2020\ln a.\ln b=0$
$\Leftrightarrow {{\ln }^{2}}x+\ln \left( ab \right)\ln x-2020\ln a.\ln b=0$
Đặt $t=\ln x,$ phương trình trở thành ${{t}^{2}}+\ln \left( ab \right).t-2020\ln a.\ln b=0\left( * \right)$
Vì phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt nên $\Delta ={{\ln }^{2}}\left( ab \right)+8080\ln a.\ln b>0.$
Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $m,n$ nên phương trình $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=\ln m \\
& {{t}_{2}}=\ln n \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có $\ln m+\ln n=-\ln \left( ab \right)\Leftrightarrow mn=\dfrac{1}{ab}\Leftrightarrow mnab=1.$
Do $a,b>1\Rightarrow mn>0.$
Xét $P=\left( 4{{a}^{2}}+25{{b}^{2}} \right)\left( 100{{m}^{2}}{{n}^{2}}+1 \right)$ ta có
$\Rightarrow P\ge 2\sqrt{4{{a}^{2}}.25{{b}^{2}}}.2\sqrt{100{{m}^{2}}{{n}^{2}}.1}$
$\Rightarrow P\ge 2.10ab.20mn=400abmn\ge 400$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=5b \\
& 10mn=1=\dfrac{10}{ab} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2a=5b \\
& ab=10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=5 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{P}_{\min }}=400\Leftrightarrow a=5,b=2.$
Đáp án D.