Google
Câu hỏi: Cho các số thực $a,b>1$ thỏa mãn điều kiện ${{\log }_{2018}}a+{{\log }_{2019}}b={{2020}^{2}}$. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức $P=\sqrt{{{\log }_{2019}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}b}$ ?
A. $2020\sqrt{{{\log }_{2019}}2018+{{\log }_{2018}}2019}$
B. $\dfrac{1}{2020}\left( {{\log }_{2019}}2018+{{\log }_{2018}}2019 \right)$
C. $\dfrac{2020}{\sqrt{{{\log }_{2019}}2018+{{\log }_{2018}}2019}}$
D. $2020\sqrt{{{\log }_{2019}}2018}+2020\sqrt{{{\log }_{2018}}2019}$
biểu thức $P=\sqrt{{{\log }_{2019}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}b}$ ?
A. $2020\sqrt{{{\log }_{2019}}2018+{{\log }_{2018}}2019}$
B. $\dfrac{1}{2020}\left( {{\log }_{2019}}2018+{{\log }_{2018}}2019 \right)$
C. $\dfrac{2020}{\sqrt{{{\log }_{2019}}2018+{{\log }_{2018}}2019}}$
D. $2020\sqrt{{{\log }_{2019}}2018}+2020\sqrt{{{\log }_{2018}}2019}$
Phương pháp:
${{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b(0<a,c\ne 1,b>0)$
Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Copski để giải bài toán.
Cách giải:
$\begin{array}{*{35}{l}}
P=\sqrt{{{\log }_{2019}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}b}=\sqrt{{{\log }_{2019}}2018.{{\log }_{2018}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}2019.{{\log }_{2019}}b} \\
=\sqrt{{{\log }_{2019}}2018}.\sqrt{{{\log }_{2018}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}2019}.\sqrt{{{\log }_{2019}}b} \\
\end{array}$
Bất đẳng thức Bunhia – Copski cho các số dương như sau: $\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{(ab+xy)}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
${{P}^{2}}={{(\sqrt{{{\log }_{2019}}2018}\sqrt{{{\log }_{2018}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}2019}.\sqrt{{{\log }_{2019}}b})}^{2}}$
$\le \left( {{\log }_{2018}}2019+{{\log }_{2019}}2018 \right).\left( {{\log }_{2018}}a+{{\log }_{2019}}b \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{P}^{2}}\le {{2020}^{2}}.\left( {{\log }_{2018}}2019+{{\log }_{2019}}2018 \right) \\
& \Leftrightarrow P\le 2020.\sqrt{\left( {{\log }_{2018}}2019+{{\log }_{2019}}2018 \right)} \\
\end{aligned}$
Vậy $\left. {{P}_{\max }}=2020.\sqrt{\left( {{\log }_{2018}}2019{{\log }_{2019}}2018 \right.} \right).$
${{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b(0<a,c\ne 1,b>0)$
Sử dụng bất đẳng thức Bunhia – Copski để giải bài toán.
Cách giải:
$\begin{array}{*{35}{l}}
P=\sqrt{{{\log }_{2019}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}b}=\sqrt{{{\log }_{2019}}2018.{{\log }_{2018}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}2019.{{\log }_{2019}}b} \\
=\sqrt{{{\log }_{2019}}2018}.\sqrt{{{\log }_{2018}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}2019}.\sqrt{{{\log }_{2019}}b} \\
\end{array}$
Bất đẳng thức Bunhia – Copski cho các số dương như sau: $\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{(ab+xy)}^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
${{P}^{2}}={{(\sqrt{{{\log }_{2019}}2018}\sqrt{{{\log }_{2018}}a}+\sqrt{{{\log }_{2018}}2019}.\sqrt{{{\log }_{2019}}b})}^{2}}$
$\le \left( {{\log }_{2018}}2019+{{\log }_{2019}}2018 \right).\left( {{\log }_{2018}}a+{{\log }_{2019}}b \right)$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{P}^{2}}\le {{2020}^{2}}.\left( {{\log }_{2018}}2019+{{\log }_{2019}}2018 \right) \\
& \Leftrightarrow P\le 2020.\sqrt{\left( {{\log }_{2018}}2019+{{\log }_{2019}}2018 \right)} \\
\end{aligned}$
Vậy $\left. {{P}_{\max }}=2020.\sqrt{\left( {{\log }_{2018}}2019{{\log }_{2019}}2018 \right.} \right).$
Đáp án A.