Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}, {{z}_{3}}$ thỏa mãn $2\left| {{z}_{1}} \right|=2\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{3}} \right|=2$ và $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}$. Gọi $A$, $B$, $C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}, {{z}_{3}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác $ABC$ bằng
A. $\dfrac{5\sqrt{7}}{8}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{7}}{24}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{7}}{32}$.
A. $\dfrac{5\sqrt{7}}{8}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{7}}{24}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$.
D. $\dfrac{5\sqrt{7}}{32}$.
Trước hết ta chứng minh được:
${{\left| m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right)\left( m{{\overline{z}}_{1}}+n{{\overline{z}}_{2}} \right)={{m}^{2}}{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+mn\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)+{{n}^{2}}{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ với $m, n$ là các số thực và ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là các số phức.
Từ $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|}{\left| {{z}_{3}} \right|}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{1}{4}$.
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$, hay $AB=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
Ta có $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{2}}\left( 3{{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right)={{z}_{1}}{{z}_{3}}\Rightarrow \left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|=\dfrac{\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{3}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|}=2$.
Suy ra ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{3}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{3}}=\dfrac{1}{3}\left( 9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}}-{{\left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}} \right)=3$.
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{3}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{3}} \right)+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}}=2\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|=\sqrt{2}$, hay $AC=\sqrt{2}$.
Ta cũng có $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}\left( 3{{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right)={{z}_{2}}{{z}_{3}}\Rightarrow \left| 3{{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\dfrac{\left| {{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{3}} \right|}{\left| {{z}_{1}} \right|}=2$. Tính tương tự như trên ta được $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\sqrt{2}$, hay $BC=\sqrt{2}$.
Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được ${{S}_{ABC}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$.
${{\left| m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left( m{{z}_{1}}+n{{z}_{2}} \right)\left( m{{\overline{z}}_{1}}+n{{\overline{z}}_{2}} \right)={{m}^{2}}{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+mn\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)+{{n}^{2}}{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ với $m, n$ là các số thực và ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là các số phức.
Từ $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|}{\left| {{z}_{3}} \right|}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}}={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{1}{4}$.
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{2}} \right)+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=\dfrac{7}{4}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$, hay $AB=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.
Ta có $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{2}}\left( 3{{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right)={{z}_{1}}{{z}_{3}}\Rightarrow \left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|=\dfrac{\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{3}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|}=2$.
Suy ra ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{3}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{3}}=\dfrac{1}{3}\left( 9{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}}-{{\left| 3{{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}} \right)=3$.
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}-\left( {{z}_{1}}.\overline{{{z}_{3}}}+\overline{{{z}_{1}}}.{{z}_{3}} \right)+{{\left| {{z}_{3}} \right|}^{2}}=2\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{3}} \right|=\sqrt{2}$, hay $AC=\sqrt{2}$.
Ta cũng có $\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}\Leftrightarrow {{z}_{1}}\left( 3{{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right)={{z}_{2}}{{z}_{3}}\Rightarrow \left| 3{{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\dfrac{\left| {{z}_{2}} \right|.\left| {{z}_{3}} \right|}{\left| {{z}_{1}} \right|}=2$. Tính tương tự như trên ta được $\left| {{z}_{2}}-{{z}_{3}} \right|=\sqrt{2}$, hay $BC=\sqrt{2}$.
Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được ${{S}_{ABC}}=\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$.
Đáp án C.