Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\left| {{z}_{3}} \right|=2$ và $8\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}.$ Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng
A. $\dfrac{\sqrt{55}}{32}$
B. $\dfrac{\sqrt{55}}{16}$
C. $\dfrac{\sqrt{55}}{24}$
D. $\dfrac{\sqrt{55}}{8}$
A. $\dfrac{\sqrt{55}}{32}$
B. $\dfrac{\sqrt{55}}{16}$
C. $\dfrac{\sqrt{55}}{24}$
D. $\dfrac{\sqrt{55}}{8}$
Ta có $\left| {{z}_{3}} \right|=1$. Từ $8\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}}=3{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ $\Rightarrow 8\left| \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right){{z}_{3}} \right|=3\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|}{8\left| {{z}_{3}} \right|}=\dfrac{3}{2}$
Mặt khác ${{z}_{3}}=\dfrac{3{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{8\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}=\dfrac{3{{z}_{1}}{{z}_{2}}.\overline{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}}{8\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}}=\dfrac{3{{z}_{1}}{{z}_{2}}.\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)}{8.{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\dfrac{3.{{z}_{2}}.{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{z}_{1}}.{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}{8.{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$
( do ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=4;\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3}{2}$ )
Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Ta thấy điểm A, B thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 2, điểm C thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
Vẽ điểm D sao cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$. Tứ giác OADB là hình thoi tâm E.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3}{2}\Rightarrow OD=\dfrac{3}{2}\Rightarrow OE=\dfrac{1}{2}OD=\dfrac{3}{4}$. Xét tam giác vuông OAE có $AE=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{E}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{55}}{4}$ $\Rightarrow AB=2AE=\dfrac{\sqrt{55}}{2}$.
Mặt khác ${{z}_{3}}=\dfrac{2}{3}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OD}$ nên $O,C,D$ thẳng hàng và $EC=OC-OE=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$
Vậy ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.CE.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{55}}{2}=\dfrac{\sqrt{55}}{16}\left( dvdt \right)$
Mặt khác ${{z}_{3}}=\dfrac{3{{z}_{1}}{{z}_{2}}}{8\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}=\dfrac{3{{z}_{1}}{{z}_{2}}.\overline{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}}{8\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\overline{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}}=\dfrac{3{{z}_{1}}{{z}_{2}}.\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}} \right)}{8.{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\dfrac{3.{{z}_{2}}.{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{z}_{1}}.{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}}{8.{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}}=\dfrac{2}{3}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)$
( do ${{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}=4;\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3}{2}$ )
Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}$ trên mặt phẳng tọa độ. Ta thấy điểm A, B thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 2, điểm C thuộc đường tròn tâm O bán kính bằng 1.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\dfrac{3}{2}\Rightarrow OD=\dfrac{3}{2}\Rightarrow OE=\dfrac{1}{2}OD=\dfrac{3}{4}$. Xét tam giác vuông OAE có $AE=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{E}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{55}}{4}$ $\Rightarrow AB=2AE=\dfrac{\sqrt{55}}{2}$.
Mặt khác ${{z}_{3}}=\dfrac{2}{3}\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OD}$ nên $O,C,D$ thẳng hàng và $EC=OC-OE=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$
Vậy ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}.CE.AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{\sqrt{55}}{2}=\dfrac{\sqrt{55}}{16}\left( dvdt \right)$
Đáp án B.