Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}-2+i \right|=2.$ Số phức $z$ thay đổi sao cho $\left( \overline{z-{{z}_{1}}} \right)\left( 1+i-{{z}_{1}} \right)$ và $\left( z-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{2}}}-2-i \right)$ là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của $\left| z-3+2i \right|$ bằng:
A. $\dfrac{11}{5}$
B. 2
C. $2-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{13}-1$
A. $\dfrac{11}{5}$
B. 2
C. $2-\sqrt{2}$
D. $\sqrt{13}-1$
Cách giải:
Sưu tầm Toanmath
Đặt $w={{z}_{2}}-2+i\Rightarrow \left| w \right|=2.$
Ta có: $\left( z-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{2}}}-2-i \right)=\left( z-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{2}}-2+i} \right)=\left( z-{{z}_{2}} \right)\overline{w}$ là số thuần ảo nên $\left( z-{{z}_{2}} \right)\overline{w}=ki\left( k\in \mathbb{R} \right).$
Mặt khác $w.\overline{w}={{\left| w \right|}^{2}}=4\Rightarrow \overline{w}=\dfrac{4}{w}\Rightarrow z={{z}_{2}}+\dfrac{kw}{4}i.$
Mà ${{z}_{2}}=w+2-i\Rightarrow z=w+2-i+\dfrac{kw}{4}i=w+2+\left( \dfrac{kw}{4}-1 \right)i.$
Khi đó ta có:
$P=\left| z-3+2i \right|=\left| w-1+\left( \dfrac{kw}{4}+1 \right)i \right|$
$=\left| \left( \dfrac{ki}{4}+1 \right)w-\left( 1-i \right) \right|\ge \left| \left( \dfrac{ki}{4}+1 \right)w \right|-\left| 1-i \right|$
$=\left| w \right|\left| \dfrac{ki}{4}+1 \right|-\sqrt{2}=2\sqrt{\dfrac{{{k}^{2}}}{16}+1}-\sqrt{2}\ge 2-\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi $z={{z}_{2}}=\left( 2+\sqrt{2} \right)-\left( \sqrt{2}+1 \right)i$ và ${{z}_{1}}$ là số phức thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=1$ và $\left( \overline{z-{{z}_{1}}} \right)\left( 1+i-{{z}_{1}} \right)$ là số thuần ảo.
Vậy $\min \left| z-3+2i \right|=2-\sqrt{2}.$
Sưu tầm Toanmath
Đặt $w={{z}_{2}}-2+i\Rightarrow \left| w \right|=2.$
Ta có: $\left( z-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{2}}}-2-i \right)=\left( z-{{z}_{2}} \right)\left( \overline{{{z}_{2}}-2+i} \right)=\left( z-{{z}_{2}} \right)\overline{w}$ là số thuần ảo nên $\left( z-{{z}_{2}} \right)\overline{w}=ki\left( k\in \mathbb{R} \right).$
Mặt khác $w.\overline{w}={{\left| w \right|}^{2}}=4\Rightarrow \overline{w}=\dfrac{4}{w}\Rightarrow z={{z}_{2}}+\dfrac{kw}{4}i.$
Mà ${{z}_{2}}=w+2-i\Rightarrow z=w+2-i+\dfrac{kw}{4}i=w+2+\left( \dfrac{kw}{4}-1 \right)i.$
Khi đó ta có:
$P=\left| z-3+2i \right|=\left| w-1+\left( \dfrac{kw}{4}+1 \right)i \right|$
$=\left| \left( \dfrac{ki}{4}+1 \right)w-\left( 1-i \right) \right|\ge \left| \left( \dfrac{ki}{4}+1 \right)w \right|-\left| 1-i \right|$
$=\left| w \right|\left| \dfrac{ki}{4}+1 \right|-\sqrt{2}=2\sqrt{\dfrac{{{k}^{2}}}{16}+1}-\sqrt{2}\ge 2-\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi $z={{z}_{2}}=\left( 2+\sqrt{2} \right)-\left( \sqrt{2}+1 \right)i$ và ${{z}_{1}}$ là số phức thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-1-i \right|=1$ và $\left( \overline{z-{{z}_{1}}} \right)\left( 1+i-{{z}_{1}} \right)$ là số thuần ảo.
Vậy $\min \left| z-3+2i \right|=2-\sqrt{2}.$
Đáp án C.