Google
Câu hỏi: Cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left( z-6 \right)\left( 8+\bar{z}i \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $5-\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{22}$.
C. $5-\sqrt{22}$.
D. $20-4\sqrt{21}$.
A. $5-\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{22}$.
C. $5-\sqrt{22}$.
D. $20-4\sqrt{21}$.
Đặt $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$.
Ta có: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left( x-6+yi \right)\left( 8-y-xi \right)=\left( x-6 \right)\left( 8-y \right)+xy+\left[ \left( 6-x \right)x+\left( 8-y \right)y \right]i$.
Theo giả thiết: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$.
Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ nên theo giả thiết trên ta được $M,N$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$. Lại có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$ $\Leftrightarrow $ $MN=4$.
Gọi $Q$ là trung điểm $MN$ thì $IQ=\sqrt{21}$.
Đặt $P$ thỏa $\overrightarrow{PM}+3\overrightarrow{PN}=\vec{0}$ $\Rightarrow P$ là trung điểm của $QN$ nên $IP=\sqrt{22}$ hay $P$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$ bán kính $r=\sqrt{22}$.
$\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON} \right|=4OP\ge 4\left( OI-r \right)=4\left( 5-\sqrt{22} \right)$.
Ta có: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left( x-6+yi \right)\left( 8-y-xi \right)=\left( x-6 \right)\left( 8-y \right)+xy+\left[ \left( 6-x \right)x+\left( 8-y \right)y \right]i$.
Theo giả thiết: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$.
Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm biểu diễn ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ nên theo giả thiết trên ta được $M,N$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$. Lại có $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$ $\Leftrightarrow $ $MN=4$.
Gọi $Q$ là trung điểm $MN$ thì $IQ=\sqrt{21}$.
Đặt $P$ thỏa $\overrightarrow{PM}+3\overrightarrow{PN}=\vec{0}$ $\Rightarrow P$ là trung điểm của $QN$ nên $IP=\sqrt{22}$ hay $P$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$ bán kính $r=\sqrt{22}$.
$\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OM}+3\overrightarrow{ON} \right|=4OP\ge 4\left( OI-r \right)=4\left( 5-\sqrt{22} \right)$.
Đáp án B.