Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn $a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}={{\log }_{6}}45$. Tổng $a+b+c$ bằng:

Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
${{\log }_{a}}b=\dfrac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\left( 0<a,c\ne 1,b>0 \right)$
${{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right)$
${{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\dfrac{m}{n}{{\log }_{a}}b\left( 0<a\ne 1,b>0 \right)$
Giải chi tiết:
Ta có:
$a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}={{\log }_{6}}45\Leftrightarrow a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}=\dfrac{{{\log }_{2}}45}{{{\log }_{2}}6}$
$\Leftrightarrow a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}=\dfrac{{{\log }_{2}}\left( {{3}^{2}}.5 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.3 \right)}\Leftrightarrow a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}=\dfrac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}3}$
$\Leftrightarrow a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}=\dfrac{2+2{{\log }_{2}}3-2+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}3}\Leftrightarrow a+\dfrac{b+{{\log }_{2}}5}{c+{{\log }_{2}}3}=2+\dfrac{-2+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}3}$
Đồng nhất hệ số ta có $a=2,b=-2,c=1.$
Vậy $a+b+c=2+(-2)+1=1.$