Cho các số dương $x,y$ thoả mãn ${{\log }_{5}}\left(...

Ta có ${{\log }_{5}}\left( \dfrac{x+y-1}{2x+3y} \right)+3x+2y\le 4$ $\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+y-1 \right)+1-{{\log }_{5}}\left( 2x+3y \right)+5x+5y-5\le 2x+3y$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ 5\left( x+y-1 \right) \right]+5\left( x+y-1 \right)\le {{\log }_{5}}\left( 2x+3y \right)+\left( 2x+3y \right)$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ với $t>0$.
Có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $y=f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Từ $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 5\left( x+y-1 \right) \right)\le f\left( 2x+3y \right)$ $\Leftrightarrow 5\left( x+y-1 \right)\le 2x+3y$ $\Leftrightarrow -3x-2y\ge -5$ $\left( 2 \right)$.
Lại có $A=6x+2y+\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}$ $=\left( -3x-2y \right)+\left( 9x+\dfrac{4}{x} \right)+\left( 4y+\dfrac{9}{y} \right)$
Từ $\left( 2 \right)$ và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm ta có
$A\ge \left( -5 \right)+2\sqrt{9x.\dfrac{4}{x}}+2\sqrt{4y.\dfrac{9}{y}}$ $=-5+12+12=19$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& -3x-2y=-5 \\
& 9x=\dfrac{4}{x} \\
& 4y=\dfrac{9}{y} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{2}{3} \\
& y=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.