Cho các hàm số $f(x)=m x^4+n x^3+p x^2+q x+r$ và $g(x)=$ $a x^3+b...

Đặt $h(x)=f\left( x \right)-g\left( x \right)\Rightarrow {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right).$
Do $f(0)=g(0)\Rightarrow $ $h(x)=f\left( x \right)-g\left( x \right)=m{{x}^{4}}+\left( n-a \right){{x}^{3}}+\left( p-b \right){{x}^{2}}+\left( q-c \right)x$.
$f(x)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r\Rightarrow {f}'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}+3n{{x}^{2}}+2px+q$
Dựa vào đồ thị hàm số ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim } \left( {f}'\left( x \right) \right)=+\infty \Rightarrow m>0\Rightarrow \underset{x\to \pm \infty }{\mathop \lim } \left( h\left( x \right) \right)=+\infty .$
Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=f'(x),y={g}'\left( x \right),x=0,x=1$
Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y={f}'\left( x \right),y=g'(x),x=1,x=2$
Dựa vào hình vẽ, ta thấy: ${{S}_{1}}>{{S}_{2}}>0\Rightarrow {{S}_{1}}-{{S}_{2}}>0$ $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right) \right]\text{d}x}-\int\limits_{1}^{2}{\left[ {g}'\left( x \right)-{f}'\left( x \right) \right]\text{d}x}>0$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{h}'\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{{h}'\left( x \right)\text{d}x}>0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{{h}'\left( x \right)\text{d}x}>0\Leftrightarrow h\left( 2 \right)-h\left( 0 \right)>0\Leftrightarrow h\left( 2 \right)>0.$
Ta có bảng biến thiên của hàm $y=h(x).$
Dựa vào bảng biến thiên phương trình $f(x)=g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt.