Google
Câu hỏi: Cho các hàm số $f\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r$ và $g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ $\left( m, n, p, q, r, a, b, c, d\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $f\left( 0 \right)=g\left( 0 \right)$. Các hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Gọi S là tổng tất cả nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$. Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $S\in \left( -\dfrac{3}{2};-1 \right)$.
B. $S\in \left( 0;1 \right)$.
C. $S\in \left( -2;-\dfrac{3}{2} \right)$.
D. $S=2.$
Gọi S là tổng tất cả nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$. Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $S\in \left( -\dfrac{3}{2};-1 \right)$.
B. $S\in \left( 0;1 \right)$.
C. $S\in \left( -2;-\dfrac{3}{2} \right)$.
D. $S=2.$
Ta có $f\left( x \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+r.$
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}+\left( n-a \right){{x}^{3}}+\left( p-b \right){{x}^{2}}+\left( q-c \right)x+r-d=0\left( 1 \right)$
Do $f\left( 0 \right)=g\left( 0 \right)\Rightarrow x=0$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)\Rightarrow r-d=0.$
Lại có $f'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}+3n{{x}^{2}}+2px+q.g'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
$f'\left( x \right)=g'\left( x \right)\Leftrightarrow 4m{{x}^{3}}+3\left( n-a \right){{x}^{2}}+2\left( p-b \right)x+q=0$.
Từ đồ thị suy ra $m>0,a>0,g'\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0.$
Ngoài ra, phương trình $f'\left( x \right)=g'\left( x \right)$ có các nghiệm $x=-a;x=1;x=2$ nên ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& -4m+3\left( n-a \right)-2\left( p-b \right)+q=0 \\
& 4m+3\left( n-a \right)+2\left( p-b \right)+q=0 \\
& 32m+12\left( n-a \right)+4\left( p-b \right)+q=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& p-b=-2m \\
& q=-3\left( n-a \right) \\
& 32m-4q-8m+q=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& p-b=-2m \\
& n-a=-\dfrac{8}{3}m \\
& q=8m \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ thành
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}-\dfrac{8}{3}m{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+8mx=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}-2x+8 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}-2x+8=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $Xét $ h\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}-2x+8 $, tập xác định $ \mathbb{R}.$
$h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\dfrac{16}{3}x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8+\sqrt{118}}{9}={{x}_{1}} \\
& x=\dfrac{8-\sqrt{118}}{9}={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Suy ra, phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng $\left( -2;-\dfrac{3}{2} \right)$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm $x=0$ và $x\in \left( -2;-\dfrac{3}{2} \right).$ Do đó, tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left( 1 \right):S\in \left( -2;-\dfrac{3}{2} \right).$
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}+\left( n-a \right){{x}^{3}}+\left( p-b \right){{x}^{2}}+\left( q-c \right)x+r-d=0\left( 1 \right)$
Do $f\left( 0 \right)=g\left( 0 \right)\Rightarrow x=0$ là nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)\Rightarrow r-d=0.$
Lại có $f'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}+3n{{x}^{2}}+2px+q.g'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
$f'\left( x \right)=g'\left( x \right)\Leftrightarrow 4m{{x}^{3}}+3\left( n-a \right){{x}^{2}}+2\left( p-b \right)x+q=0$.
Từ đồ thị suy ra $m>0,a>0,g'\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0.$
Ngoài ra, phương trình $f'\left( x \right)=g'\left( x \right)$ có các nghiệm $x=-a;x=1;x=2$ nên ta có hệ:
$\left\{ \begin{aligned}
& -4m+3\left( n-a \right)-2\left( p-b \right)+q=0 \\
& 4m+3\left( n-a \right)+2\left( p-b \right)+q=0 \\
& 32m+12\left( n-a \right)+4\left( p-b \right)+q=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& p-b=-2m \\
& q=-3\left( n-a \right) \\
& 32m-4q-8m+q=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& p-b=-2m \\
& n-a=-\dfrac{8}{3}m \\
& q=8m \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ thành
$\Leftrightarrow m{{x}^{4}}-\dfrac{8}{3}m{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+8mx=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow x\left( {{x}^{3}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}-2x+8 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{3}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}-2x+8=0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $Xét $ h\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{8}{3}{{x}^{2}}-2x+8 $, tập xác định $ \mathbb{R}.$
$h'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\dfrac{16}{3}x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{8+\sqrt{118}}{9}={{x}_{1}} \\
& x=\dfrac{8-\sqrt{118}}{9}={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên
Suy ra, phương trình $\left( 2 \right)$ có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng $\left( -2;-\dfrac{3}{2} \right)$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm $x=0$ và $x\in \left( -2;-\dfrac{3}{2} \right).$ Do đó, tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left( 1 \right):S\in \left( -2;-\dfrac{3}{2} \right).$
Đáp án C.