Google
Câu hỏi: Cho biểu thức $P={{3}^{y-2x+1}}\left( 1+{{4}^{2x-y-1}} \right)-{{2}^{2x-y-1}}$ và biểu thức $Q={{\log }_{y+3-2x}}3y$ .Giá trị nhỏ nhất của $y$ để tồn tại $x$ thỏa mãn đồng thời $P\ge 1$ và $Q\ge 1$ là số ${{y}_{0}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $4{{y}_{0}}+1$ là số hữu tỷ.
B. ${{y}_{0}}$ là số vô tỷ.
C. ${{y}_{0}}$ là số nguyên dương.
D. $3{{y}_{0}}+1$ là số tự nhiên chẵn.
A. $4{{y}_{0}}+1$ là số hữu tỷ.
B. ${{y}_{0}}$ là số vô tỷ.
C. ${{y}_{0}}$ là số nguyên dương.
D. $3{{y}_{0}}+1$ là số tự nhiên chẵn.
Ta có: $P={{3}^{y-2x+1}}+{{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{y-2x+1}}-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y-2x+1}}\ge 1$
Nhận xét: Nếu $y-2x+1<0$ thì ${{3}^{y-2x+1}}<1$ và ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{y-2x+1}}<{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y-2x+1}}$ vậy nên $P<1$.
Nếu $y-2x+1\ge 0$ thì ${{3}^{y-2x+1}}\ge 1$ và ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{y-2x+1}}\ge {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y-2x+1}}$ vậy nên $P\ge 1$
Do vậy: $y-2x+1\ge 0 \Leftrightarrow P\ge 1 \left( 1 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ ta có $Q\ge 1\Rightarrow 3y\ge y+3-2x\Leftrightarrow 2x+2y-3\ge 0 \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta được $\left\{ \begin{aligned}
& y-2x+1\ge 0 \\
& 2x+2y-3\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
Vây $y=\dfrac{2}{3}$.
Nhận xét: Nếu $y-2x+1<0$ thì ${{3}^{y-2x+1}}<1$ và ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{y-2x+1}}<{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y-2x+1}}$ vậy nên $P<1$.
Nếu $y-2x+1\ge 0$ thì ${{3}^{y-2x+1}}\ge 1$ và ${{\left( \dfrac{3}{4} \right)}^{y-2x+1}}\ge {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{y-2x+1}}$ vậy nên $P\ge 1$
Do vậy: $y-2x+1\ge 0 \Leftrightarrow P\ge 1 \left( 1 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ ta có $Q\ge 1\Rightarrow 3y\ge y+3-2x\Leftrightarrow 2x+2y-3\ge 0 \left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta được $\left\{ \begin{aligned}
& y-2x+1\ge 0 \\
& 2x+2y-3\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$
Vây $y=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án A.