Cho biết $\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{-x}}dx=a+\dfrac{b}{e}}$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Tính ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}.$

Phương pháp:
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={{e}^{-x}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-{{e}^{x}} \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{-x}}dx=-x{{e}^{-x}}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-x}}dx}.$
$=-\dfrac{1}{e}-{{e}^{-x}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=-\dfrac{1}{e}-\left( \dfrac{1}{e}-1 \right)=1-\dfrac{2}{e}$
$\Rightarrow a=1,b=-2\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5.$