Cho biết $\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}\ln \left( \dfrac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \right)dx}=a+b\ln \dfrac{p}{q}$ với $p,q$ là các số nguyên tố...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tửng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln \dfrac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \\
& dv={{x}^{3}}dx \\
\end{aligned} \right.$
- Sử dụng kĩ năng chọn hệ số.
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln \dfrac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \\
& dv={{x}^{3}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{-16x}{16-{{x}^{4}}}dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-4=\dfrac{{{x}^{4}}-16}{4} \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có:
$\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}\ln \left( \dfrac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{4}}-16}{4}\ln \dfrac{4-{{x}^{2}}}{4+{{x}^{2}}} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{4xdx}$
$=\dfrac{-15}{4}\ln \dfrac{3}{5}-2{{x}^{2}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{-15}{4}\ln \dfrac{3}{5}-2=a+b\ln \dfrac{p}{q}$
$\Rightarrow a=-2,b=-\dfrac{15}{4},p=3,q=5.$
Vậy $S=2ab+pq=2.\left( -2 \right).\dfrac{-15}{4}+3.5=30.$