Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham só $m$ để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng $\left( 1;3 \right)$ ?
A. $35$.
B. $36$.
C. $34$.
D. Vô số.
A. $35$.
B. $36$.
C. $34$.
D. Vô số.
Ta có : ${{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$ $\left( 1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 7{{x}^{2}}+14x+14 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$ $\Leftrightarrow 7{{x}^{4}}+14x+14>{{x}^{2}}+6x+5+m>0$
$\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+8x+9<m<-{{x}^{2}}-6x-5$ $\left( * \right)$.
Bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng $\left( 1;3 \right)$ khi và chỉ khi $\left( * \right)$ đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$.
Ta có bảng biến thiên của hai hàm số $y=6{{x}^{2}}+8x+9$, $y=-{{x}^{2}}-6x-5$ trên khan $\left( 1;3 \right)$ như sau:
Suy ra $-12<m<23$, mà $m\in N*$ nên $m\in \left\{ -11,...2,3,4,5,22 \right\}$. Vậy tổng các giá trị $m$ thỏa mãn bài là $34$.
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( 7{{x}^{2}}+14x+14 \right)>{{\log }_{7}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$ $\Leftrightarrow 7{{x}^{4}}+14x+14>{{x}^{2}}+6x+5+m>0$
$\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+8x+9<m<-{{x}^{2}}-6x-5$ $\left( * \right)$.
Bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng $\left( 1;3 \right)$ khi và chỉ khi $\left( * \right)$ đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$.
Ta có bảng biến thiên của hai hàm số $y=6{{x}^{2}}+8x+9$, $y=-{{x}^{2}}-6x-5$ trên khan $\left( 1;3 \right)$ như sau:
Suy ra $-12<m<23$, mà $m\in N*$ nên $m\in \left\{ -11,...2,3,4,5,22 \right\}$. Vậy tổng các giá trị $m$ thỏa mãn bài là $34$.
Đáp án C.