Cho bất phương trình ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-4x+4+m...

Ta có
${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-4x+4+m \right)-1<{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-4x+4+m \right)<{{\log }_{5}}\left( 5{{x}^{2}}+10x+15 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5{{x}^{2}}+10x+15>{{x}^{2}}-4x+4+m \\
& {{x}^{2}}-4x+4+m>0 \\
\end{aligned} \right. \forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}+14x+11>m \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-4x+4>-m \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \forall x\in \left( 1;3 \right)$.
* Xét $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}+14x+11$ trên $\left( 1;3 \right)$. Ta có ${f}'\left( x \right)=8x+14>0$ với $\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Vậy để thoả mãn thì $m\le f\left( 1 \right)=29$.
* Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+4$ trên $\left( 1;3 \right)$. Ta có bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ trên $\left( 1;3 \right)$
Vậy để thoả mãn thì $-m\le 0\Leftrightarrow m\ge 0$.
Khi đó $0\le m\le 29$, suy ra có $30$ giá trị nguyên của tham số $m$.