Cho bất phương trình ${{\log }_{4}}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}\left(...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x>\dfrac{1}{4} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$
Với điều kiện trên, bất phương trình ${{\log }_{4}}{{x}^{2}}-{{\log }_{2}}\left( 4x-1 \right)\le -{{\log }_{2}}m\Leftrightarrow \left( m-4 \right)x\le -1\left( 1 \right)$
TH1: Với $m=4$, thì bất phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
TH2: Với $m>4$, thì bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\le \dfrac{-1}{m-4}$
Để bất phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm trên $\left( \dfrac{1}{4};+\infty \right)$ thì $\dfrac{-1}{m-4}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{m}{4\left( m-4 \right)}<0\Leftrightarrow 0<m<4$
Kết hợp với $m>4$. Suy ra trường hợp này không tồn tại $m$
TH3: Với $m<4$, thì bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge \dfrac{-1}{m-4}$
Suy ra bất phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có nghiệm trên $\left( \dfrac{1}{4};+\infty \right)$
Kết hợp với $m>0$. Suy ra $0<m<4$ $\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3 \right\}$
Vậy có 3 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán