Cho bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của...

${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right)\forall x\in \left[ 0;6 \right]$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-x+2 \right)3\ge \left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right)>0,\forall x\in \left[ 0;6 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+x+m-3>0 \\
& 2{{x}^{2}}-4x-m+9\ge 0 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ 0;6 \right]$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-{{x}^{2}}-x+3 \\
& m\le {{x}^{2}}-4x+9 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left[ 0;6 \right]\left( 1 \right)$
Ta có $-{{x}^{2}}-x+3\le 3,\forall x\in \left[ 0;6 \right].$ Dấu "=" xảy ra khi $x=0.$
Suy ra $\underset{x\in \left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{x}^{2}}-x+3 \right)=3.$
Lại có $2{{x}^{2}}-4x+9=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+7\ge 7,\forall x\in \left[ 0;6 \right].$ Dấu "=" xảy ra khi $x=1.$
Suy ra $\underset{x\in \left[ 0;6 \right]}{\mathop{\min }} \left( 2{{x}^{2}}-4x+9 \right)=7.$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>3 \\
& m\le 7 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 3<m\le 7. $ Vì $ m\in \mathbb{Z} $ nên ta được $ m\in \left\{ 4;5;6;7 \right\}$ (4 giá trị nguyên).