Cho bất phương trình ${\log }_3(x^2+2x+2)+1>{\log }_3(x^2+6x+5+m)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị...

Phương pháp giải:
- Giải bất phương trình ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)>0$.
- Cô lập m, đưa các bất phương trình về dạng $m<f\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in (a;b)\iff m\le \underset{[a;b]}{min}f\left(x\right)$.
Giải chi tiết:
Ta có:
${\log }_3(x^2+2x+2)+1>{\log }_3(x^2+6x+5+m)\mathrm{\forall }x\in (1;3)$
$\iff {\log }_3(3x^2+6x+6)>{\log }_3(x^2+6x+5+m)\mathrm{\forall }x\in (1;3)$
$\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+6x+5+m>0\mathrm{\forall }x\in (1;3)\\ 3x^2+6x+6>x^2+6x+5+m\mathrm{\forall }x\in (1;3)\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+6x+5+m>0\mathrm{\forall }x\in (1;3)\left(1\right)\\ 2x^2+1-m>0\mathrm{\forall }x\in (1;3)\left(2\right)\end{array}$
Giải (1): $x^2+6x+5+m>0\mathrm{\forall }x\in (1;3)\iff x^2+6x+5>-m\mathrm{\forall }x\in (1;3)$.
Đặt $f\left(x\right)=x^2+6x+5$ ta có $-m<f\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in (1;3)\iff -m\le \underset{[1;3]}{min}f\left(x\right)$.
BBT:

Từ BBT $\Rightarrow \left(1\right)\iff -m\le 12\iff m\ge -12$.
Giải (2): $2x^2+1-m>0\mathrm{\forall }x\in (1;3)\iff m<2x^2+1\mathrm{\forall }x\in (1;3)$.
Đặt $g\left(x\right)=2x^2+1$ ta có $m<g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in (1;3)\iff m\le \underset{[1;3]}{min}g\left(x\right)$.
BBT:

Dựa vào BBT $\Rightarrow \left(2\right)\iff m\le 3$.
Kết hợp ta có $-12\le m\le 3$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-12;-11;-10;...;1;2;3\}$.
Vậy có 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.