Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$ ?
A. 16
B. Vô số
C. 15
D. 14
A. 16
B. Vô số
C. 15
D. 14
Phương pháp giải:
- Giải bất phương trình ${{\log }_{a}}f\left( x \right)>{{\log }_{a}}g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)>g\left( x \right)>0$.
- Cô lập m, đưa các bất phương trình về dạng $m<f\left( x \right)\forall x\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$.
Giải chi tiết:
Ta có:
${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+6 \right)>{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6x+5+m>0\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
3{{x}^{2}}+6x+6>{{x}^{2}}+6x+5+m\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6x+5+m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\left( 1 \right) \\
2{{x}^{2}}+1-m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
Giải (1): ${{x}^{2}}+6x+5+m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x+5>-m\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+5$ ta có $-m<f\left( x \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow -m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$.
BBT:
Từ BBT $\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow -m\le 12\Leftrightarrow m\ge -12$.
Giải (2): $2{{x}^{2}}+1-m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m<2{{x}^{2}}+1\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+1$ ta có $m<g\left( x \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
BBT:
Dựa vào BBT $\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 3$.
Kết hợp ta có $-12\le m\le 3$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -12;-11;-10;...;1;2;3 \right\}$.
Vậy có 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Giải bất phương trình ${{\log }_{a}}f\left( x \right)>{{\log }_{a}}g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)>g\left( x \right)>0$.
- Cô lập m, đưa các bất phương trình về dạng $m<f\left( x \right)\forall x\in \left( a;b \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$.
Giải chi tiết:
Ta có:
${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)+1>{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 3{{x}^{2}}+6x+6 \right)>{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+6x+5+m \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6x+5+m>0\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
3{{x}^{2}}+6x+6>{{x}^{2}}+6x+5+m\forall x\in \left( 1;3 \right) \\
\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6x+5+m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\left( 1 \right) \\
2{{x}^{2}}+1-m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$
Giải (1): ${{x}^{2}}+6x+5+m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x+5>-m\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Đặt $f\left( x \right)={{x}^{2}}+6x+5$ ta có $-m<f\left( x \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow -m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$.
BBT:
Từ BBT $\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow -m\le 12\Leftrightarrow m\ge -12$.
Giải (2): $2{{x}^{2}}+1-m>0\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m<2{{x}^{2}}+1\forall x\in \left( 1;3 \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+1$ ta có $m<g\left( x \right)\forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
BBT:
Dựa vào BBT $\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le 3$.
Kết hợp ta có $-12\le m\le 3$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -12;-11;-10;...;1;2;3 \right\}$.
Vậy có 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.