Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+x+1} \right)<{{x}^{2}}+4x+3-m$ ( $m$ là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;4 \right)$ ?
A. $4$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $2$.
A. $4$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $2$.
Điều kiện: $\dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+x+1}>0$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+m>0$ $\left( 1 \right)$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+x+1} \right)<{{x}^{2}}+4x+3-m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+x+1} \right)-1<{{x}^{2}}+4x+2-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)<{{x}^{2}}+4x+2-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)<\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)+\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)<{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)$
Đặt $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Mà $f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)<f\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+m<2{{x}^{2}}+2x+2$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+4x+2-m>0$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& m>-{{x}^{2}}+2x=g\left( x \right) \\
& m<{{x}^{2}}+4x+2=h\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( 0;4 \right)$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m\le 2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 1<m\le 2$
Vậy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán.
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+x+1} \right)<{{x}^{2}}+4x+3-m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}-2x+m}{{{x}^{2}}+x+1} \right)-1<{{x}^{2}}+4x+2-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)<{{x}^{2}}+4x+2-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)<\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)+\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)<{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)$
Đặt $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Rightarrow $ Hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Mà $f\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)<f\left( 2{{x}^{2}}+2x+2 \right)$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+m<2{{x}^{2}}+2x+2$
$\Rightarrow {{x}^{2}}+4x+2-m>0$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& m>-{{x}^{2}}+2x=g\left( x \right) \\
& m<{{x}^{2}}+4x+2=h\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( 0;4 \right)$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m\le 2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 1<m\le 2$
Vậy $m=2$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án B.