Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình $\ln \dfrac{{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2-m\ge 0$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $0$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $0$.
Do ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2>0$ $\forall x\in \mathbb{R}$ nên điều kiện xác định của phương trình là ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m>0$
Ta có $\ln \dfrac{{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2-m\ge 0$ $\Leftrightarrow \ln \left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2 \right)+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2\ge \ln \left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2\ge +{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+2\ge m$ $\left( ** \right)$.
Để bất phương trình $\left( * \right)$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]$ thì bất phương trình $\left( ** \right)$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+2$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ ta có ${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+8x=4x\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=119;\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=2$.
Vậy bất phương trình $\left( ** \right)$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=2$.
Do $m$ là số nguyên dương nên $m=1;m=2$.
Ta có $\ln \dfrac{{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m}+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2-m\ge 0$ $\Leftrightarrow \ln \left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2 \right)+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2\ge \ln \left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t}+1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)=\ln t+t$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2\ge +{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow {{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+2\ge m$ $\left( ** \right)$.
Để bất phương trình $\left( * \right)$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]$ thì bất phương trình $\left( ** \right)$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+2$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right]$ ta có ${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+8x=4x\left( {{x}^{2}}+2 \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Khi đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=119;\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=2$.
Vậy bất phương trình $\left( ** \right)$ nghiệm đúng với $\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=2$.
Do $m$ là số nguyên dương nên $m=1;m=2$.
Đáp án B.