Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình $\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;20 \right]$ để bất phương trình đúng nghiệm với mọi $x$ trên đoạn $\left[ 0;3 \right].$
A. 10.
B. 12.
C. 41.
D. 11.
A. 10.
B. 12.
C. 41.
D. 11.
Theo yêu cầu bài toán ta có:
$\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right),\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m\ge {{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Rightarrow f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có: $f\left( 0 \right)=5,f\left( 2 \right)=9,f\left( 3 \right)=5\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=9.$
Do đó ta được $m\ge 9,$ kết hợp với điều kiện $m\in \left[ -20;20 \right]$ nên $m\in \left\{ 9;10;11;...;20 \right\}$ do đó có 12 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
$\ln \left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+5 \right),\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+m\ge {{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$
$\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} \left( -{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Rightarrow f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có: $f\left( 0 \right)=5,f\left( 2 \right)=9,f\left( 3 \right)=5\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=9.$
Do đó ta được $m\ge 9,$ kết hợp với điều kiện $m\in \left[ -20;20 \right]$ nên $m\in \left\{ 9;10;11;...;20 \right\}$ do đó có 12 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án B.