Google
Câu hỏi: Cho bất phương trình $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$ ( $m$ là tham số thực). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $\left[ \dfrac{5}{2};4 \right].$
A. $\left[ \dfrac{7}{3};+\infty \right).$
B. $\left[ -3;\dfrac{7}{3} \right].$
C. $\left( -\infty ;\dfrac{7}{3} \right].$
D. $\left[ -3;+\infty \right).$
A. $\left[ \dfrac{7}{3};+\infty \right).$
B. $\left[ -3;\dfrac{7}{3} \right].$
C. $\left( -\infty ;\dfrac{7}{3} \right].$
D. $\left[ -3;+\infty \right).$
Điều kiện: $x>2.$
Ta có: $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$
$\Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4\ge 0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right).$
Với $x\in \left[ \dfrac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right].$
Do đó bất phương trình $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $\left[ \dfrac{5}{2};4 \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t+4m-4\ge 0\left( 1 \right),$ nghiệm đúng với mọi $t$ thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right].$
Ta có: $4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t+4m-4\ge 0\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)\ge {{t}^{2}}+5t+1.$
Vì ${{t}^{2}}+t+1={{\left( t+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)\ge {{t}^{2}}+5t+1\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right].$
$f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}.$
$f\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\pm 1.$
$f\left( -1 \right)=-3;f\left( 1 \right)=\dfrac{7}{3}.$ Suy ra $\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{7}{3};\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( -1 \right)=-3.$
Vậy $m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$ nghiệm đúng với mọi $t$ thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right]$ khi $m\in \left[ -3;\dfrac{7}{3} \right].$
Ta có: $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$
$\Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4\ge 0.$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right).$
Với $x\in \left[ \dfrac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right].$
Do đó bất phương trình $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc đoạn $\left[ \dfrac{5}{2};4 \right]$ khi và chỉ khi bất phương trình $4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t+4m-4\ge 0\left( 1 \right),$ nghiệm đúng với mọi $t$ thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right].$
Ta có: $4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t+4m-4\ge 0\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)\ge {{t}^{2}}+5t+1.$
Vì ${{t}^{2}}+t+1={{\left( t+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}>0,\forall t\in \mathbb{R}$ nên $m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)\ge {{t}^{2}}+5t+1\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}.$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right].$
$f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}.$
$f\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\pm 1.$
$f\left( -1 \right)=-3;f\left( 1 \right)=\dfrac{7}{3}.$ Suy ra $\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)=\dfrac{7}{3};\underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=f\left( -1 \right)=-3.$
Vậy $m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$ nghiệm đúng với mọi $t$ thuộc đoạn $\left[ -1;1 \right]$ khi $m\in \left[ -3;\dfrac{7}{3} \right].$
Đáp án B.