Cho bất phương trình ${{3}^{\dfrac{2-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}{2}}}+{{3}^{\dfrac{2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}-2}}}>\dfrac{10}{3},$ với $m$ là tham số...

Điều kiện: ${{x}^{2}}-2x+m\ge 0$
Đặt $X=\dfrac{2-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}{2}\left( X\le 1 \right)$.
Bất phương trình $\Leftrightarrow {{3}^{X}}+{{3}^{-\dfrac{1}{X}}}>\dfrac{10}{3}.$
Xét hàm $f\left( X \right)={{3}^{X}}+{{3}^{-\dfrac{1}{X}}}$ với $\left( -\infty ;1 \right].$
$f'\left( X \right)={{3}^{X}}\ln 3+\dfrac{1}{{{X}^{2}}}{{.3}^{-\dfrac{1}{X}}}\ln 3>0,\forall X\ne 0$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có $f\left( X \right)>\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow X\in \left( -1;0 \right)$
$X\in \left( -1;0 \right)\Leftrightarrow -1<\dfrac{2-\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}}{2}<0$
$\Leftrightarrow 2<\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}<4\left( * \right)$
Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 0;2 \right]$
$\Leftrightarrow $ bất phương trình (*) nghiệm đúng $\forall x\in \left[ 0;2 \right].$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}>2\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
& \sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}<4\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
& \sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}\ge 0\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+m>4,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
& {{x}^{2}}-2x+m<16,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x>4-m,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
& {{x}^{2}}-2x<16-m,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right.\left( I \right)$
Xét hàm $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x$ trên $\left[ 0;2 \right]$
$g'\left( x \right)=2x-2$
$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1$
Hệ bất phương trình $\left( I \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4-m<-1 \\
& 16-m>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>5 \\
& m<16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 5<m<16$
Mà $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 6;7;8;....;15 \right\}\Rightarrow $ có 10 giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.