Cho bất phương trình $3^{{\displaystyle \frac{2-\sqrt{x^2-2x+m}}{2}}}+3^{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x^2-2x+m}-2}}}>{\displaystyle \frac{10}{3}},$ với $m$ là tham số...

Điều kiện: $x^2-2x+m\ge 0$
Đặt $X={\displaystyle \frac{2-\sqrt{x^2-2x+m}}{2}}(X\le 1)$.
Bất phương trình $\iff 3^X+3^{-{\displaystyle \frac{1}{X}}}>{\displaystyle \frac{10}{3}}.$
Xét hàm $f\left(X\right)=3^X+3^{-{\displaystyle \frac{1}{X}}}$ với $(-\mathrm{\infty };1].$
$f^{\prime }\left(X\right)=3^X\ln 3+{\displaystyle \frac{1}{X^2}}{.3}^{-{\displaystyle \frac{1}{X}}}\ln 3>0,\mathrm{\forall }X\ne 0$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có $f\left(X\right)>{\displaystyle \frac{10}{3}}\iff X\in (-1;0)$
$X\in (-1;0)\iff -1<{\displaystyle \frac{2-\sqrt{x^2-2x+m}}{2}}<0$
$\iff 2<\sqrt{x^2-2x+m}<4(\ast )$
Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi $x\in [0;2]$
$\iff$ bất phương trình (*) nghiệm đúng $\mathrm{\forall }x\in [0;2].$
$\iff \{\begin{array}{rl}& \sqrt{x^2-2x+m}>2\mathrm{\forall }x\in [0;2]\\ & \sqrt{x^2-2x+m}<4\mathrm{\forall }x\in [0;2]\\ & \sqrt{x^2-2x+m}\ge 0\mathrm{\forall }x\in [0;2]\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& x^2-2x+m>4,\mathrm{\forall }x\in [0;2]\\ & x^2-2x+m<16,\mathrm{\forall }x\in [0;2]\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& x^2-2x>4-m,\mathrm{\forall }x\in [0;2]\\ & x^2-2x<16-m,\mathrm{\forall }x\in [0;2]\end{array}\left(I\right)$
Xét hàm $g\left(x\right)=x^2-2x$ trên $[0;2]$
$g^{\prime }\left(x\right)=2x-2$
$g^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=1$
Hệ bất phương trình $\left(I\right)\iff \{\begin{array}{rl}& 4-m<-1\\ & 16-m>0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& m>5\\ & m<16\end{array}\iff 5<m<16$
Mà $m$ nguyên nên $m\in \{6;7;8;....;15\}\Rightarrow$ có 10 giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán.