Cho bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình sau ${{\log...

The Collectors · 15/3/22

Câu hỏi: Cho bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình sau

\log_{3} \frac{2 x^{2} - x + 1}{4 x^{2} - x + 4 - m} < - 2 x^{2} + 2 x - m

có nghiệm
A.

1

.
B.

3

.
C.

2

.
D.

4

.

Ta có

\log_{3} \frac{2 x^{2} - x + 1}{4 x^{2} - x + 4 - m} < - 2 x^{2} + 2 x - m

\Leftrightarrow \log_{3} \frac{2 x^{2} - x + 1}{4 x^{2} - x + 4 - m} < 4 x^{2} - x + 4 - m - 3 (2 x^{2} - x + 1) - 1

\Leftrightarrow \log_{3} [3 (2 x^{2} - x + 1)] + 3 (2 x^{2} - x + 1) < \log_{3} (4 x^{2} - x + 4 - m) + 4 x^{2} - x + 4 - m

Xét hàm

f (t) = t + \log_{3} t

có

f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t \ln 3} > 0

nên đồng biến trên

(0; + \infty)

Do đó:

f [3 (2 x^{2} - x + 1)] < f (4 x^{2} - x + 4 - m) \Leftrightarrow [3 (2 x^{2} - x + 1)] < 4 x^{2} - x + 4 - m

\Leftrightarrow m < - 2 x^{2} + 2 x + 1

Bất phương trình vô nghiệm

\Leftrightarrow m \geq - 2 x^{2} + 2 x + 1, \forall x \in R

Ta có:

M a x (- 2 x^{2} + 2 x + 1) = \frac{3}{2}

\Rightarrow m \geq M a x (- 2 x^{2} + 2 x + 1) = \frac{3}{2}

Vậy bất phương trình có nghiệm khi

m < \frac{3}{2}

Đáp án A.