Cho bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình sau ${{\log...

Ta có ${{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+1}{4{{x}^{2}}-x+4-m}<-2{{x}^{2}}+2x-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{2{{x}^{2}}-x+1}{4{{x}^{2}}-x+4-m}<4{{x}^{2}}-x+4-m-3\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)-1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ 3\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right) \right]+3\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)<{{\log }_{3}}\left( 4{{x}^{2}}-x+4-m \right)+4{{x}^{2}}-x+4-m$
Xét hàm $f\left( t \right)=t+{{\log }_{3}}t$ có $f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 3}>0$ nên đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$
Do đó: $f\left[ 3\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right) \right]<f\left( 4{{x}^{2}}-x+4-m \right)\Leftrightarrow \left[ 3\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right) \right]<4{{x}^{2}}-x+4-m$
$\Leftrightarrow m<-2{{x}^{2}}+2x+1$
Bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow m\ge -2{{x}^{2}}+2x+1,\forall x\in \mathbb{R}$
Ta có: $Max\left( -2{{x}^{2}}+2x+1 \right)=\dfrac{3}{2}$ $\Rightarrow m\ge Max\left( -2{{x}^{2}}+2x+1 \right)=\dfrac{3}{2}$
Vậy bất phương trình có nghiệm khi $m<\dfrac{3}{2}$