Google
Câu hỏi: Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ $A=5$ cm, với tần số khác nhau. Biết rằng, tại mọi thời điểm li độ và vận tốc của các vật liên hệ với nhau bằng biểu thức $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}.$ Tại thời điểm t, các vật lần lượt cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt là 3 cm, 2 cm và ${{x}_{0}}.$ Giá trị ${{x}_{0}}$ gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 2 cm.
B. 5 cm.
C. 4 cm.
D. 3 cm.
A. 2 cm.
B. 5 cm.
C. 4 cm.
D. 3 cm.
Phương pháp:
Đạo hàm hai vế của phương tình
Cách giải:
Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}$ ta được:
$\dfrac{x{{'}_{1}}{{v}_{1}}-{{x}_{1}}v{{'}_{1}}}{v_{1}^{2}}+\dfrac{x{{'}_{2}}{{v}_{2}}-{{x}_{2}}v{{'}_{2}}}{v_{2}^{2}}=\dfrac{x{{'}_{3}}{{v}_{3}}-{{x}_{3}}v{{'}_{3}}}{v_{3}^{2}}$ thay $\left\{ \begin{aligned}
& x'v={{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right) \\
& xv'=x.a=-{{\omega }^{2}}{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{\omega _{1}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{1}^{2} \right)+\omega _{1}^{2}x_{1}^{2}}{\omega _{1}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{1}^{2} \right)}+\dfrac{\omega _{2}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{2}^{2} \right)+\omega _{2}^{2}x_{2}^{2}}{\omega _{2}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{2}^{2} \right)}=\dfrac{\omega _{3}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{3}^{2} \right)+\omega _{3}^{2}x_{3}^{2}}{\omega _{3}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{3}^{2} \right)}$
$\Rightarrow \dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}+\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{3}^{2}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}-{{2}^{2}}}=\dfrac{1}{{{5}^{2}}-x_{3}^{2}}\Rightarrow \left| {{x}_{3}} \right|=3,99\left( cm \right)$
$\Rightarrow $ Chọn C.
Đạo hàm hai vế của phương tình
Cách giải:
Đạo hàm theo thời gian hai vế hệ thức $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}$ ta được:
$\dfrac{x{{'}_{1}}{{v}_{1}}-{{x}_{1}}v{{'}_{1}}}{v_{1}^{2}}+\dfrac{x{{'}_{2}}{{v}_{2}}-{{x}_{2}}v{{'}_{2}}}{v_{2}^{2}}=\dfrac{x{{'}_{3}}{{v}_{3}}-{{x}_{3}}v{{'}_{3}}}{v_{3}^{2}}$ thay $\left\{ \begin{aligned}
& x'v={{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right) \\
& xv'=x.a=-{{\omega }^{2}}{{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{\omega _{1}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{1}^{2} \right)+\omega _{1}^{2}x_{1}^{2}}{\omega _{1}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{1}^{2} \right)}+\dfrac{\omega _{2}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{2}^{2} \right)+\omega _{2}^{2}x_{2}^{2}}{\omega _{2}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{2}^{2} \right)}=\dfrac{\omega _{3}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{3}^{2} \right)+\omega _{3}^{2}x_{3}^{2}}{\omega _{3}^{2}\left( {{A}^{2}}-x_{3}^{2} \right)}$
$\Rightarrow \dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}+\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{3}^{2}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}+\dfrac{1}{{{5}^{2}}-{{2}^{2}}}=\dfrac{1}{{{5}^{2}}-x_{3}^{2}}\Rightarrow \left| {{x}_{3}} \right|=3,99\left( cm \right)$
$\Rightarrow $ Chọn C.
Đáp án C.