Google
Câu hỏi: Cho ba vật dao động điều hòa cùng biên độ $A=10 cm$ nhưng tần số khác nhau. Biết rằng tại mọi thời điểm, li độ, vận tốc của các vật liên hệ với nhau bởi biểu thức: $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}+2019.$ Tại thời điểm $t$, các vật cách vị trí cân bằng của chúng lần lượt là $6 cm;$ $8 cm$ và ${{x}_{0}}$. Giá trị ${{x}_{0}}$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:
A. $8,7 cm.$
B. $9,0 cm.$
C. $7,8 cm.$
D. $8,5 cm.$
A. $8,7 cm.$
B. $9,0 cm.$
C. $7,8 cm.$
D. $8,5 cm.$
+ Xét đạo hàm sau:
${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{\prime }}=\dfrac{{x}'.v-{v}'.x}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{v}^{2}}-a.x}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\left( -{{\omega }^{2}}.x \right).x}{{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ (1)
+ Xét biểu thức:
$\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}+2019.$
+ Lấy đạo hàm hai vế và áp dụng đạo hàm (1) ta có:
${{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{\prime }}+201{9}'\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}} \right)}^{\prime }}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{\prime }}$
$\Rightarrow \dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}+\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{0}^{2}}\Rightarrow \dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}+\dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-{{8}^{2}}}=\dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-x_{0}^{2}}=\dfrac{625}{144}$
$\Rightarrow {{x}_{0}}=\sqrt{\dfrac{1924}{25}}=8,77\left( cm \right)$
${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{\prime }}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$
${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{\prime }}=\dfrac{{x}'.v-{v}'.x}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{v}^{2}}-a.x}{{{v}^{2}}}=\dfrac{{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)-\left( -{{\omega }^{2}}.x \right).x}{{{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ (1)
+ Xét biểu thức:
$\dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}}+2019.$
+ Lấy đạo hàm hai vế và áp dụng đạo hàm (1) ta có:
${{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{\prime }}+201{9}'\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{v}_{1}}} \right)}^{\prime }}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}}{{{v}_{2}}} \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{{{x}_{3}}}{{{v}_{3}}} \right)}^{\prime }}$
$\Rightarrow \dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}+\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-x_{0}^{2}}\Rightarrow \dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}+\dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-{{8}^{2}}}=\dfrac{{{10}^{2}}}{{{10}^{2}}-x_{0}^{2}}=\dfrac{625}{144}$
$\Rightarrow {{x}_{0}}=\sqrt{\dfrac{1924}{25}}=8,77\left( cm \right)$
Note 25
Đối với dạng bài toán có tỉ số $\dfrac{x}{v}$ hoặc $\dfrac{v}{a}$, cách làm đơn giản nhất là chúng ta đạo hàm hai vế liên quan đến tỉ số trên:${{\left( \dfrac{x}{v} \right)}^{\prime }}=\dfrac{{{A}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Đáp án A.