Cho alà hằng số dương khác 1 thỏa mãn ${{a}^{20002x}}\ge 4{{\cos...

Cách giải:
Ta có ${{a}^{20002x}}\ge 4{{\cos }^{2}}x-1\Leftrightarrow {{a}^{2002x}}-2\cos 2x-1\ge 0$
Đặt $t=2\cos 2x\left( t\in \left[ -2;2 \right] \right)$, bất phương trình trở thành ${{a}^{t}}-t-1\ge 0\forall t\in \left[ -2;2 \right]$.
Đặt $f\left( t \right)={{a}^{t}}-t-1,t\in \left[ -2;2 \right]$. Khi đó ta có: $f'\left( t \right)={{a}^{t}}lna-1.~$
TH1: Nếu $0<a<1\Rightarrow f'\left( t \right)<0\forall t\in \left[ -2;2 \right].~$
⇒ Hàm số f( t) nghịch biến trên $-[-2;2]\Rightarrow \underset{_{[-2,2]}}{\mathop{\min }} f(t)=f(2)={{a}^{2}}-2-1={{a}^{2}}-3$
$\Rightarrow {{a}^{2}}-3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
a\ge \sqrt{3} \\
a\le -\sqrt{3} \\
\end{array} \right.$ (mâu thuẫn với giả thiết 0 < a< 1 ).
TH2: Nếu a> 1 , khi đó ta có: ${{f}^{\prime }}(t)=0\Leftrightarrow t={{\log }_{a}}\dfrac{1}{\ln a}=-{{\log }_{a}}(\ln a)={{t}_{0}}$
BBT:

Từ BBT ta có: $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{min}} f\left( t \right)=f\left( {{t}_{0}} \right)\ge 0.~$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{a}^{4}}-{{t}_{0}}-1\ge 0 \\
& \Leftrightarrow {{a}^{-1}}{{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}+{{\log }_{6}}(\text{h}a)-1\ge 0 \right. \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{\ln a}+{{\log }_{2}}(\ln a)-1\ge 0 \\
& \Leftrightarrow a=e \\
\end{aligned}$