Google
Câu hỏi: Cho $a$ và $b$ là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị $y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{b}}x$ và trục hoành lần lượt tại $A,B$ và $H$ phân biệt ta đều có $3HA=4HB$ (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $4a=3b.$
B. ${{a}^{3}}{{b}^{4}}=1.$
C. $3a=4b.$
D. ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.$
A. $4a=3b.$
B. ${{a}^{3}}{{b}^{4}}=1.$
C. $3a=4b.$
D. ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.$
Ta có: Gọi $H\left( {{x}_{0}};0 \right).$ Khi đó $A\left( {{x}_{0}};{{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right);B\left( {{x}_{0}};{{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right)$
$AH=\left| {{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right|;BH=\left| {{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right|$
Do $3HA=4HB\Leftrightarrow 3\left| {{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right|=4\left| {{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right|$
Dựa vào đồ thị ta thấy: $3\left| {{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right|=4\left| {{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right|\Leftrightarrow 3{{\log }_{a}}{{x}_{0}}=-4{{\log }_{b}}{{x}_{0}}$
Đặt $3{{\log }_{a}}{{x}_{0}}=-4{{\log }_{b}}{{x}_{0}}=t.$ Ta có
$3{{\log }_{a}}{{x}_{0}}=-4{{\log }_{b}}{{x}_{0}}=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{a}}{{x}_{0}}=\dfrac{t}{3} \\
& {{\log }_{b}}{{x}_{0}}=-\dfrac{t}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{\dfrac{t}{3}}}={{x}_{0}} \\
& {{b}^{-\dfrac{t}{4}}}={{x}_{0}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{t}{3}}}={{b}^{-\dfrac{t}{4}}}\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{t}{3}}}=\dfrac{1}{{{b}^{\dfrac{t}{4}}}}\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{t}{3}}}.{{b}^{\dfrac{t}{4}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{4}}.{{b}^{3}}=1.$
$AH=\left| {{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right|;BH=\left| {{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right|$
Do $3HA=4HB\Leftrightarrow 3\left| {{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right|=4\left| {{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right|$
Dựa vào đồ thị ta thấy: $3\left| {{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right|=4\left| {{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right|\Leftrightarrow 3{{\log }_{a}}{{x}_{0}}=-4{{\log }_{b}}{{x}_{0}}$
Đặt $3{{\log }_{a}}{{x}_{0}}=-4{{\log }_{b}}{{x}_{0}}=t.$ Ta có
$3{{\log }_{a}}{{x}_{0}}=-4{{\log }_{b}}{{x}_{0}}=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{a}}{{x}_{0}}=\dfrac{t}{3} \\
& {{\log }_{b}}{{x}_{0}}=-\dfrac{t}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{\dfrac{t}{3}}}={{x}_{0}} \\
& {{b}^{-\dfrac{t}{4}}}={{x}_{0}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{t}{3}}}={{b}^{-\dfrac{t}{4}}}\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{t}{3}}}=\dfrac{1}{{{b}^{\dfrac{t}{4}}}}\Leftrightarrow {{a}^{\dfrac{t}{3}}}.{{b}^{\dfrac{t}{4}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{4}}.{{b}^{3}}=1.$
Đáp án D.