Google
Câu hỏi: Cho $a$ và $b$ là các số thực dương khác $1$. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song vói trục tung mà cắt các đồ thị $y={{\log }_{a}}x$, $y={{\log }_{b}}x$ và trục hoành lần lượt tại $A$, $B$ và $H$ phân biệt ta đều có $3HA=4HB$ (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
B. ${{a}^{3}}{{b}^{4}}=1$.
C. $3a=4b$.
D. $4a=3b$.
A. ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
B. ${{a}^{3}}{{b}^{4}}=1$.
C. $3a=4b$.
D. $4a=3b$.
Xét đường thẳng song song với trục tung có phương trình $x={{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}>1 \right)$.
Lúc đó. $A\left( {{x}_{0}};{{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right)$ và $B\left( {{x}_{0}};{{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right)$.
Suy ra. $HA=\left| lo{{g}_{a}}{{x}_{0}} \right|=lo{{g}_{a}}{{x}_{0}}$ và $HB=\left| lo{{g}_{b}}{{x}_{0}} \right|=-lo{{g}_{b}}{{x}_{0}}$.
Theo đề. $3HA=4HB$ $\Leftrightarrow 3lo{{g}_{a}}{{x}_{0}}=-4lo{{g}_{b}}{{x}_{0}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{lo{{g}_{{{x}_{0}}}}a}=\dfrac{-4}{lo{{g}_{{{x}_{0}}}}b}\Leftrightarrow 3lo{{g}_{{{x}_{0}}}}b=-4lo{{g}_{{{x}_{0}}}}a$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{{{x}_{0}}}}{{b}^{3}}=lo{{g}_{{{x}_{0}}}}{{a}^{-4}}\Leftrightarrow {{b}^{3}}={{a}^{-4}}\Leftrightarrow {{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
Tương tự, khi xét đường thẳng song song với trục tung có phương trình $x={{x}_{0}}\left( 0<{{x}_{0}}<1 \right)$, ta có ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
Vậy ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
Chú ý. Đối với toán trắc nghiệm, chỉ cần xét trường hợp đường thẳng song song với trục tung có phương trình $x={{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}>1 \right)$ là đủ để chọn đáp án đúng.
Lúc đó. $A\left( {{x}_{0}};{{\log }_{a}}{{x}_{0}} \right)$ và $B\left( {{x}_{0}};{{\log }_{b}}{{x}_{0}} \right)$.
Suy ra. $HA=\left| lo{{g}_{a}}{{x}_{0}} \right|=lo{{g}_{a}}{{x}_{0}}$ và $HB=\left| lo{{g}_{b}}{{x}_{0}} \right|=-lo{{g}_{b}}{{x}_{0}}$.
Theo đề. $3HA=4HB$ $\Leftrightarrow 3lo{{g}_{a}}{{x}_{0}}=-4lo{{g}_{b}}{{x}_{0}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{lo{{g}_{{{x}_{0}}}}a}=\dfrac{-4}{lo{{g}_{{{x}_{0}}}}b}\Leftrightarrow 3lo{{g}_{{{x}_{0}}}}b=-4lo{{g}_{{{x}_{0}}}}a$
$\Leftrightarrow lo{{g}_{{{x}_{0}}}}{{b}^{3}}=lo{{g}_{{{x}_{0}}}}{{a}^{-4}}\Leftrightarrow {{b}^{3}}={{a}^{-4}}\Leftrightarrow {{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
Tương tự, khi xét đường thẳng song song với trục tung có phương trình $x={{x}_{0}}\left( 0<{{x}_{0}}<1 \right)$, ta có ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
Vậy ${{a}^{4}}{{b}^{3}}=1$.
Chú ý. Đối với toán trắc nghiệm, chỉ cần xét trường hợp đường thẳng song song với trục tung có phương trình $x={{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}>1 \right)$ là đủ để chọn đáp án đúng.
Đáp án A.