Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${{2}^{a+b+2ab-3}}=\dfrac{1-ab}{a+b}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ là
A. $-21$
B. $3-\sqrt{5}$
C. ${{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
A. $-21$
B. $3-\sqrt{5}$
C. ${{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}$
D. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
Ta có ${{2}^{a+b+2ab-3}}=\dfrac{1-ab}{a+b}$ $\Leftrightarrow a+b+2ab-3={{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$ $\Leftrightarrow a+b+{{\log }_{2}}\left( a+b \right)={{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)-2ab+3$ $\Leftrightarrow a+b+{{\log }_{2}}\left( a+b \right)={{\log }_{2}}\left( 2-2ab \right)+2-2ab$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0 \left( \forall t>0 \right)$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $f\left( a+b \right)=f\left( 2-2ab \right)$ $\Leftrightarrow a+b=2-2ab$ $\Leftrightarrow a+2ab=2-b$ $\Leftrightarrow a\left( 1+2b \right)=2-b$ $\Leftrightarrow a=\dfrac{2-b}{1+2b}$. (Vì $a,b>0$ nên suy ra $0<b<2$ )
Khi đó $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab={{\left( 2-2ab \right)}^{2}}-2ab$.
Đặt $t=2ab$ ta có $t=2.\dfrac{2b-{{b}^{2}}}{1+2b}$ với $0<b<2$. Suy ra ${t}'=\dfrac{4-4b-4{{b}^{2}}}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$. ${t}'=0\Leftrightarrow b=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
Bảng biến thiên
Suy ra $t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
Ta có $P={{\left( 2-t \right)}^{2}}-t={{t}^{2}}-5t+4$ với $t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
$P'=2t-5<0$ với mọi $t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$. Suy ra ${{P}_{\min }}=P\left( 3-\sqrt{5} \right)=3-\sqrt{5}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0 \left( \forall t>0 \right)$. Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Do đó $f\left( a+b \right)=f\left( 2-2ab \right)$ $\Leftrightarrow a+b=2-2ab$ $\Leftrightarrow a+2ab=2-b$ $\Leftrightarrow a\left( 1+2b \right)=2-b$ $\Leftrightarrow a=\dfrac{2-b}{1+2b}$. (Vì $a,b>0$ nên suy ra $0<b<2$ )
Khi đó $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab={{\left( 2-2ab \right)}^{2}}-2ab$.
Đặt $t=2ab$ ta có $t=2.\dfrac{2b-{{b}^{2}}}{1+2b}$ với $0<b<2$. Suy ra ${t}'=\dfrac{4-4b-4{{b}^{2}}}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$. ${t}'=0\Leftrightarrow b=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
Bảng biến thiên
Suy ra $t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
Ta có $P={{\left( 2-t \right)}^{2}}-t={{t}^{2}}-5t+4$ với $t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
$P'=2t-5<0$ với mọi $t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$. Suy ra ${{P}_{\min }}=P\left( 3-\sqrt{5} \right)=3-\sqrt{5}$.
Đáp án B.