Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là hai số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( \dfrac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}.$
A. $\dfrac{3}{2}.$
B. 1.
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
A. $\dfrac{3}{2}.$
B. 1.
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Ta có ${{\log }_{5}}\left( \dfrac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)-{{\log }_{5}}\left( a+b \right)=a+3b-4$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( a+b \right)+5a+5b+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( 5a+5b \right)+\left( 5a+5b \right)$ $\left( 1 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{5}}t$ với $t>0.$
Ta có $f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 5}>0,\forall t>0.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5a+5b\Leftrightarrow a=5-3b$.
Thay vào $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25=10{{\left( b-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{5}{2}\ge \dfrac{5}{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{3}{2} \\
& a=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( a+b \right)+5a+5b+1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( 5a+5b \right)+\left( 5a+5b \right)$ $\left( 1 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{5}}t$ với $t>0.$
Ta có $f'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 5}>0,\forall t>0.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5a+5b\Leftrightarrow a=5-3b$.
Thay vào $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25=10{{\left( b-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{5}{2}\ge \dfrac{5}{2}.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& b=\dfrac{3}{2} \\
& a=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Đáp án C.