Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là các số thực thay đổi thỏa mãn ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+20}}\left( 6a-8b-4 \right)=1$ và $c,d$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $\sqrt{{{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}\dfrac{c}{d}-7}=\sqrt{2\left( 2{{d}^{2}}+d-3 \right)}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sqrt{{{\left( a-c+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$ là
A. $4\sqrt{2}-1$.
B. $\sqrt{29}-1$.
C. $\dfrac{12\sqrt{5}-5}{5}$.
D. $\dfrac{8\sqrt{5}-5}{5}$.
A. $4\sqrt{2}-1$.
B. $\sqrt{29}-1$.
C. $\dfrac{12\sqrt{5}-5}{5}$.
D. $\dfrac{8\sqrt{5}-5}{5}$.
Ta có: ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+20}}\left( 6a-8b-4 \right)=1$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+20=6a-8b-4$ $\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b+4 \right)}^{2}}=1$ $\left( 1 \right)$
Lại có:
$\sqrt{{{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}\dfrac{c}{d}-7}=\sqrt{2\left( 2{{d}^{2}}+d-3 \right)}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}\dfrac{c}{d}-7=2\left( 2{{d}^{2}}+d-3 \right) \\
& 2{{d}^{2}}+d-3\ge 0;\text{ }d,c>0(gt) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}c={{\left( 2d \right)}^{2}}+2d+{{\log }_{2}}2d \\
& d\ge 1;c>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c-1=2d-1 \\
& d\ge 1;c\ge 2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 2 \right)$
Đặt $M\left( a;b \right)$ và $N\left( c-1;d \right)$. Theo $\left( 1 \right)$ ta được $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;-4 \right)$ bán kính $R=1$ ; theo $\left( 2 \right)$ ta được $N$ thuộc nửa đường thẳng $y=2x-1$ ứng với $x\ge 1$.
Khi đó $MN=\sqrt{{{\left( a-c+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$.
Vậy $M{{N}_{\min }}={{N}_{1}}I-R=\sqrt{29}-1$.
Lại có:
$\sqrt{{{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}\dfrac{c}{d}-7}=\sqrt{2\left( 2{{d}^{2}}+d-3 \right)}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}\dfrac{c}{d}-7=2\left( 2{{d}^{2}}+d-3 \right) \\
& 2{{d}^{2}}+d-3\ge 0;\text{ }d,c>0(gt) \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{c}^{2}}+c+{{\log }_{2}}c={{\left( 2d \right)}^{2}}+2d+{{\log }_{2}}2d \\
& d\ge 1;c>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c-1=2d-1 \\
& d\ge 1;c\ge 2 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 2 \right)$
Đặt $M\left( a;b \right)$ và $N\left( c-1;d \right)$. Theo $\left( 1 \right)$ ta được $M$ thuộc đường tròn tâm $I\left( 3;-4 \right)$ bán kính $R=1$ ; theo $\left( 2 \right)$ ta được $N$ thuộc nửa đường thẳng $y=2x-1$ ứng với $x\ge 1$.
Khi đó $MN=\sqrt{{{\left( a-c+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}}$.
Đáp án B.