Cho $a, b$ là các số thực thay đổi thỏa mãn ${{\log...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Cho

a, b

là các số thực thay đổi thỏa mãn

\log_{a^{2} + b^{2} + 20} (6 a - 8 b - 4) = 1

và

c, d

là các số thực dương thay đổi thỏa mãn

\sqrt{c^{2} + c + \log_{2} \frac{c}{d} - 7} = \sqrt{2 (2 d^{2} + d - 3)}

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\sqrt{{(a - c + 1)}^{2} + {(b - d)}^{2}}

là
A.

4 \sqrt{2} - 1

.
B.

\sqrt{29} - 1

.
C.

\frac{12 \sqrt{5} - 5}{5}

.
D.

\frac{8 \sqrt{5} - 5}{5}

.

Ta có:

\log_{a^{2} + b^{2} + 20} (6 a - 8 b - 4) = 1

\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 20 = 6 a - 8 b - 4

\Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} + {(b + 4)}^{2} = 1

(1)

Lại có:

\sqrt{c^{2} + c + \log_{2} \frac{c}{d} - 7} = \sqrt{2 (2 d^{2} + d - 3)}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} c^{2} + c + \log_{2} \frac{c}{d} - 7 = 2 (2 d^{2} + d - 3) \\ 2 d^{2} + d - 3 \geq 0; d, c > 0 (g t) \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} c^{2} + c + \log_{2} c = {(2 d)}^{2} + 2 d + \log_{2} 2 d \\ d \geq 1; c > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} c - 1 = 2 d - 1 \\ d \geq 1; c \geq 2 \end{aligned}

(2)

Đặt

M (a; b)

và

N (c - 1; d)

. Theo

(1)

ta được

M

thuộc đường tròn tâm

I (3; - 4)

bán kính

R = 1

; theo

(2)

ta được

N

thuộc nửa đường thẳng

y = 2 x - 1

ứng với

x \geq 1

.
Khi đó

M N = \sqrt{{(a - c + 1)}^{2} + {(b - d)}^{2}}

.

Vậy

M N_{min} = N_{1} I - R = \sqrt{29} - 1

.

Đáp án B.

Cho a,b là các số thực thay đổi thỏa mãn ${{\log...