Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( a\sqrt[3]{b} \right)=3.$ Tính ${{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( b\sqrt[3]{a} \right).$
A. $\dfrac{1}{3}$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $3$
D. $-3$
A. $\dfrac{1}{3}$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $3$
D. $-3$
Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức: ${{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right)$
${{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\dfrac{m}{n}{{\log }_{a}}b\left( 0<a\ne 1,b>0 \right)$
Từ giả thiết tính ${{\log }_{a}}b$.
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay ${{\log }_{a}}b$ vừa tính được để tính giá trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab. 3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132. Logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3. A23)=logabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132. Logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37
${{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( a\sqrt[3]{b} \right)={{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( \sqrt[3]{ab}.\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right)$
$={{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{ab}+{{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{{{a}^{2}}}$
$={{\log }_{{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{3}}}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{a}^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}$
$=\dfrac{1}{3}2.{{\log }_{ab}}\left( ab \right)+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_{a}}\left( ab \right)}$
$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)}$
$\Rightarrow \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)}=3$
$\Rightarrow {{\log }_{a}}b=-\dfrac{3}{7}$
Khi đó ta có:
${{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( b\sqrt[3]{a} \right)={{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( \sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{{{b}^{2}}} \right)$
$={{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{ab}+{{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{{{b}^{2}}}$
$={{\log }_{{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{3}}}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{b}^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}$
$=\dfrac{1}{3}.2.{{\log }_{ab}}\left( ab \right)+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_{b}}\left( ab \right)}$
$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left( {{\log }_{b}}a+1 \right)}$
$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{-\dfrac{7}{3}+1}=-\dfrac{1}{3}$
- Sử dụng các công thức: ${{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y\left( 0<a\ne 1,x,y>0 \right)$
${{\log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=\dfrac{m}{n}{{\log }_{a}}b\left( 0<a\ne 1,b>0 \right)$
Từ giả thiết tính ${{\log }_{a}}b$.
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay ${{\log }_{a}}b$ vừa tính được để tính giá trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab. 3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132. Logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3. A23)=logabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132. Logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37
${{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( a\sqrt[3]{b} \right)={{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( \sqrt[3]{ab}.\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right)$
$={{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{ab}+{{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{{{a}^{2}}}$
$={{\log }_{{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{3}}}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{a}^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}$
$=\dfrac{1}{3}2.{{\log }_{ab}}\left( ab \right)+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_{a}}\left( ab \right)}$
$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)}$
$\Rightarrow \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)}=3$
$\Rightarrow {{\log }_{a}}b=-\dfrac{3}{7}$
Khi đó ta có:
${{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( b\sqrt[3]{a} \right)={{\log }_{\sqrt{ab}}}\left( \sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{{{b}^{2}}} \right)$
$={{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{ab}+{{\log }_{\sqrt{ab}}}\sqrt[3]{{{b}^{2}}}$
$={{\log }_{{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{3}}}+\dfrac{1}{{{\log }_{{{b}^{\dfrac{2}{3}}}}}{{\left( ab \right)}^{\dfrac{1}{2}}}}$
$=\dfrac{1}{3}.2.{{\log }_{ab}}\left( ab \right)+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}{{\log }_{b}}\left( ab \right)}$
$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}\left( {{\log }_{b}}a+1 \right)}$
$=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{-\dfrac{7}{3}+1}=-\dfrac{1}{3}$
Đáp án B.