Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{ab}}\left(a\sqrt[3]{b}\right)=3.$ Tính ${\log }_{\sqrt{ab}}\left(b\sqrt[3]{a}\right).$

Phương pháp giải:
- Sử dụng các công thức: ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y(0<a\ne 1,x,y>0)$
${\log }_{a^n}{b}^m={\displaystyle \frac{m}{n}}{\log }_{a}b(0<a\ne 1,b>0)$
Từ giả thiết tính ${\log }_{a}b$.
- Biến đổi biểu thức cần tính bằng cách sử dụng các công thức trên, thay ${\log }_{a}b$ vừa tính được để tính giá trị biểu thức.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
log√ab(a3√b)=log√ab(3√ab. 3√a2)=log√ab3√ab+log√ab3√a2=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132. Logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37logab(ab3)=logab(ab3. A23)=logabab3+logaba23=log(ab)12(ab)13+1loga23(ab)12=132. Logab(ab)+112.32loga(ab)=23+134(1+logab)⇒23+134(1+logab)=3⇒logab=−37
${\log }_{\sqrt{ab}}\left(a\sqrt[3]{b}\right)={\log }_{\sqrt{ab}}(\sqrt[3]{ab}.\sqrt[3]{a^2})$
$={\log }_{\sqrt{ab}}\sqrt[3]{ab}+{\log }_{\sqrt{ab}}\sqrt[3]{a^2}$
$={\log }_{{\left(ab\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{\left(ab\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{a^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{\left(ab\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}2.{\log }_{ab}\left(ab\right)+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3}{2}}{\log }_a\left(ab\right)}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}(1+{\log }_{a}b)}}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}(1+{\log }_{a}b)}}=3$
$\Rightarrow {\log }_{a}b=-{\displaystyle \frac{3}{7}}$
Khi đó ta có:
${\log }_{\sqrt{ab}}\left(b\sqrt[3]{a}\right)={\log }_{\sqrt{ab}}\left(\sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{b^2}\right)$
$={\log }_{\sqrt{ab}}\sqrt[3]{ab}+{\log }_{\sqrt{ab}}\sqrt[3]{b^2}$
$={\log }_{{\left(ab\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{\left(ab\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{b^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}{\left(ab\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}.2.{\log }_{ab}\left(ab\right)+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{3}{2}}{\log }_b\left(ab\right)}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{3}{4}}({\log }_{b}a+1)}}$
$={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{-{\displaystyle \frac{7}{3}}+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$