Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $2^{a+b+2ab-3}={\displaystyle \frac{1-ab}{a+b}}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $a^2+b^2$ là:

Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.
- Biến đổi $P=a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab$, đặt ẩn phụ $t=2ab$, lập BBT tìm miền giá trị của t.
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
$2^{a+b+2ab-3}={\displaystyle \frac{1-ab}{a+b}}$
$\iff a+b+2ab-3={\log }_2(1-ab)-{\log }_2(a+b)$
$\iff a+b+2ab-2={\log }_2(1-ab)+1-{\log }_2(a+b)$
$\iff a+b+2ab-2={\log }_2(2-2ab)-{\log }_2(a+b)$
$\iff {\log }_2(a+b)+a+b={\log }_2(2-2ab)+2-2ab(\ast )$
Xét hàm số $y={\log }_{2}t+t(t>0)$ ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{t\ln 2}}+1>0\mathrm{\forall }t>0$, do đó hàm số đồng biến trên $(0;+\mathrm{\infty })$.
Khi đó $(\ast )\iff a+b=2-2ab\iff a(1+2b)=2-b\iff a={\displaystyle \frac{2-b}{1+2b}}$.
Vì $a,b>0\Rightarrow {\displaystyle \frac{2-b}{1+2b}}>0\iff 2-b>0\iff b<2$.
Khi đó ta có $P=a^2+b^2={(a+b)}^2-2ab={(2-2ab)}^2-2ab$.
Đặt $t=2ab=2{\displaystyle \frac{2-b}{1+2b}}.b(0<b<2)$ ta có $t=2.{\displaystyle \frac{2b-b^2}{1+2b}}$
$\Rightarrow t^{\prime }=2.{\displaystyle \frac{(2-2b)(1+2b)-(2b-b^2).2}{{(1+2b)}^2}}$
$=2.{\displaystyle \frac{2+4b-2b-4b^2-4b+2b^2}{{(1+2b)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{4-4b-4b^2}{{(1+2b)}^2}}$
$t^{\prime }=0\iff b={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$
BBT:

$\Rightarrow t\in (0;3-\sqrt{5}]$.
Khi đó ta có $P={(2-t)}^2-t=t^2-5t+4,t\in (0;3-\sqrt{5}]$.
Ta có $P^{\prime }=2t-5=0\iff t={\displaystyle \frac{5}{2}}\left(ktm\right)$, do đó $P_{min}=P(3-\sqrt{5})=3-\sqrt{5}$.