Google
Câu hỏi: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${{2}^{a+b+2ab-3}}=\dfrac{1-ab}{a+b}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ là:
A. $3-\sqrt{5}$
B. ${{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
D. 2
A. $3-\sqrt{5}$
B. ${{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}$
C. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
D. 2
Phương pháp giải:
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.
- Biến đổi $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab$, đặt ẩn phụ $t=2ab$, lập BBT tìm miền giá trị của t.
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
${{2}^{a+b+2ab-3}}=\dfrac{1-ab}{a+b}$
$\Leftrightarrow a+b+2ab-3={{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Leftrightarrow a+b+2ab-2={{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)+1-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Leftrightarrow a+b+2ab-2={{\log }_{2}}\left( 2-2ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+b \right)+a+b={{\log }_{2}}\left( 2-2ab \right)+2-2ab\left( * \right)$
Xét hàm số $y={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có ${y}'=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow a+b=2-2ab\Leftrightarrow a\left( 1+2b \right)=2-b\Leftrightarrow a=\dfrac{2-b}{1+2b}$.
Vì $a,b>0\Rightarrow \dfrac{2-b}{1+2b}>0\Leftrightarrow 2-b>0\Leftrightarrow b<2$.
Khi đó ta có $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab={{\left( 2-2ab \right)}^{2}}-2ab$.
Đặt $t=2ab=2\dfrac{2-b}{1+2b}.b\left( 0<b<2 \right)$ ta có $t=2.\dfrac{2b-{{b}^{2}}}{1+2b}$
$\Rightarrow {t}'=2.\dfrac{\left( 2-2b \right)\left( 1+2b \right)-\left( 2b-{{b}^{2}} \right).2}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$
$=2.\dfrac{2+4b-2b-4{{b}^{2}}-4b+2{{b}^{2}}}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{4-4b-4{{b}^{2}}}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$
${t}'=0\Leftrightarrow b=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
BBT:
$\Rightarrow t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
Khi đó ta có $P={{\left( 2-t \right)}^{2}}-t={{t}^{2}}-5t+4,t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
Ta có ${P}'=2t-5=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{2}\left( ktm \right)$, do đó ${{P}_{\min }}=P\left( 3-\sqrt{5} \right)=3-\sqrt{5}$.
- Sử dụng phương pháp logarit cơ số 2 cả hai vế của phương trình, sau đó xét hàm đặc trưng.
- Rút a theo b, từ điều kiện của a suy ra điều kiện chặt chẽ hơn của b.
- Biến đổi $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab$, đặt ẩn phụ $t=2ab$, lập BBT tìm miền giá trị của t.
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của biểu thức P.
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có:
${{2}^{a+b+2ab-3}}=\dfrac{1-ab}{a+b}$
$\Leftrightarrow a+b+2ab-3={{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Leftrightarrow a+b+2ab-2={{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)+1-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Leftrightarrow a+b+2ab-2={{\log }_{2}}\left( 2-2ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( a+b \right)+a+b={{\log }_{2}}\left( 2-2ab \right)+2-2ab\left( * \right)$
Xét hàm số $y={{\log }_{2}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có ${y}'=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0$, do đó hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow a+b=2-2ab\Leftrightarrow a\left( 1+2b \right)=2-b\Leftrightarrow a=\dfrac{2-b}{1+2b}$.
Vì $a,b>0\Rightarrow \dfrac{2-b}{1+2b}>0\Leftrightarrow 2-b>0\Leftrightarrow b<2$.
Khi đó ta có $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab={{\left( 2-2ab \right)}^{2}}-2ab$.
Đặt $t=2ab=2\dfrac{2-b}{1+2b}.b\left( 0<b<2 \right)$ ta có $t=2.\dfrac{2b-{{b}^{2}}}{1+2b}$
$\Rightarrow {t}'=2.\dfrac{\left( 2-2b \right)\left( 1+2b \right)-\left( 2b-{{b}^{2}} \right).2}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$
$=2.\dfrac{2+4b-2b-4{{b}^{2}}-4b+2{{b}^{2}}}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$ $=\dfrac{4-4b-4{{b}^{2}}}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}$
${t}'=0\Leftrightarrow b=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
BBT:
$\Rightarrow t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
Khi đó ta có $P={{\left( 2-t \right)}^{2}}-t={{t}^{2}}-5t+4,t\in \left( 0;3-\sqrt{5} \right]$.
Ta có ${P}'=2t-5=0\Leftrightarrow t=\dfrac{5}{2}\left( ktm \right)$, do đó ${{P}_{\min }}=P\left( 3-\sqrt{5} \right)=3-\sqrt{5}$.
Đáp án C.