Cho $a, b$ là các số nguyên dương nhỏ hơn $2022$. Biết rằng với...

Đặt $c=a+1,c\ge 2$, khi đó $\left( {{2}^{a+b+2}}-{{2}^{b-a}} \right).{{\log }_{a+1}}\sqrt{b}>{{4}^{b}}-1\Leftrightarrow \left( {{2}^{c}}-{{2}^{-c}} \right).{{\log }_{c}}b>{{2}^{b}}-{{2}^{-b}}, \left( 1 \right)$.
+) $b=1$, không thỏa mãn $\left( 1 \right)$.
+) $b=2\Rightarrow \dfrac{{{2}^{c}}-{{2}^{-c}}}{{{\log }_{2}}c}>\dfrac{15}{4}, \left( 2 \right)$.

• ) $c=2$, không thỏa mãn $\left( 2 \right)$.

• ) $\forall c\ge 3$, hàm $f\left( c \right)=\dfrac{{{2}^{c}}-{{2}^{-c}}}{{{\log }_{2}}c},{f}'\left( c \right)=\dfrac{{{2}^{c}}\left( c.\ln 2.\ln c-1 \right)+c{{.2}^{-c}}.\ln 2.\ln c+{{2}^{-c}}}{c.\ln 2{{\left( {{\log }_{c}}c \right)}^{2}}}>0$.

Suy ra $f\left( c \right)\ge f\left( 3 \right)>\dfrac{15}{4}, \forall c\ge 3 \Rightarrow 2\le a\le 2021$. Do đó $b=2$ thỏa mãn.
+) $b\ge 3$, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{c}}-{{2}^{-c}}}{\ln c}>\dfrac{{{2}^{b}}-{{2}^{-b}}}{\ln b}, \left( 3 \right)$.
Hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{2}^{t}}-{{2}^{-t}}}{{{\log }_{2}}t}$ đồng biến với mọi $t\ge 3$ và $c=2$ không thỏa mãn $\left( 3 \right)$ nên $c\ge 3$.
Do đó $\left( 3 \right)\Leftrightarrow c>b, \left( b\ge 3 \right)\Rightarrow 3\le b\le a\le 2021\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b\ge 3 \\
& 2021-b+1\ge 1000 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 3\le b\le 1022$

• Vậy $2\le b\le 1022$.