Cho $a,b,c$ là các số thực và $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ thỏa mãn $f'\left( t \right)=f'\left( t+5 \right)=2$ với $t$ là hằng...

Phương pháp:
- Chọn $t=0,$ tính $I$ theo $t.$
- Vì $f'\left( 0 \right)=f'\left( 5 \right)=2$ nên 0 và 5 là nghiệm của phương trình $f'\left( x \right)-2=0.$ Sử dụng đinh lí Vi-ét tìm $a,b.$
- Thay $a,b$ vừa tìm được để tính $I.$
Cách giải:
Ta có: $I=\int\limits_{t}^{t+5}{f'\left( x \right)dx}=f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& t+5 \\
& t \\
\end{aligned} \right.=f\left( t+5 \right)-f\left( t \right).$
Chọn $t=0$ ta có $I=f\left( 5 \right)-f\left( 0 \right).$
Ta có: $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b$
Vì $f'\left( 0 \right)=f'\left( 5 \right)=2$ nên 0 và 5 là hai nghiệm của phương trình $f'\left( x \right)-2=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2ax+b-2=0$
Áp dụng địn lí Vi-ét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& -\dfrac{2a}{3}=5 \\
& \dfrac{b-2}{3}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{15}{2} \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ta có:
$I=f\left( 5 \right)-f\left( 0 \right)$
$I=125+25a+5b+c-c$
$I=125+25a+5b$
$I=125-25.\dfrac{15}{2}+5.2=-\dfrac{105}{2}.$