Google
Câu hỏi: Cho $a,b,c$ là các số thực dương khác $1$ thỏa mãn $\log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}\dfrac{c}{b}-2{{\log }_{b}}\dfrac{c}{b}-3.$ Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P={{\log }_{a}}b-{{\log }_{b}}c.$ Giá trị của biểu thức $S=m-3M$ bằng
A. $S=-16$.
B. $S=4$.
C. $S=-6$.
D. $S=6$.
A. $S=-16$.
B. $S=4$.
C. $S=-6$.
D. $S=6$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}\dfrac{c}{b}-2{{\log }_{b}}\dfrac{c}{b}-3 \\
& \Leftrightarrow \log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}c-{{\log }_{a}}b-2{{\log }_{b}}c+2-3 \\
& \Leftrightarrow \log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}b.lo{{g}_{b}}c-{{\log }_{a}}b-2{{\log }_{b}}c-1 \\
\end{aligned}$;
Đặt: ${{\log }_{a}}b=x,{{\log }_{b}}c=y$ khi đó phương trình có dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=xy-x-2y-1\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=3$ ;
Hay $0={{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}-3\ge {{\left( x-y \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( x-y-1 \right)}^{2}}}{2}-2$ ;
$\Rightarrow 3{{\left( x-y \right)}^{2}}-2\left( x-y \right)-5\le 0$ suy ra $3{{P}^{2}}-2P-5\le 0$ do đó $-1\le P\le \dfrac{5}{3}$.
Vậy $m=-1;M=\dfrac{5}{3}$ $\Rightarrow S=-6$.
$\begin{aligned}
& \log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}\dfrac{c}{b}-2{{\log }_{b}}\dfrac{c}{b}-3 \\
& \Leftrightarrow \log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}c-{{\log }_{a}}b-2{{\log }_{b}}c+2-3 \\
& \Leftrightarrow \log _{a}^{2}b+\log _{b}^{2}c={{\log }_{a}}b.lo{{g}_{b}}c-{{\log }_{a}}b-2{{\log }_{b}}c-1 \\
\end{aligned}$;
Đặt: ${{\log }_{a}}b=x,{{\log }_{b}}c=y$ khi đó phương trình có dạng:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=xy-x-2y-1\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=3$ ;
Hay $0={{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}-3\ge {{\left( x-y \right)}^{2}}+\dfrac{{{\left( x-y-1 \right)}^{2}}}{2}-2$ ;
$\Rightarrow 3{{\left( x-y \right)}^{2}}-2\left( x-y \right)-5\le 0$ suy ra $3{{P}^{2}}-2P-5\le 0$ do đó $-1\le P\le \dfrac{5}{3}$.
Vậy $m=-1;M=\dfrac{5}{3}$ $\Rightarrow S=-6$.
Đáp án C.