Google
Câu hỏi: Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau thuộc đoạn $\left[ 0;2 \right]$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(c-a)}^{2}}}$ là
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\dfrac{9}{4}$.
D. $\dfrac{25}{4}$.
A. $\dfrac{1}{3}$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\dfrac{9}{4}$.
D. $\dfrac{25}{4}$.
Bài toán này ta sử dụng hai bất đẳng thức:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{{{(x+y)}^{2}}}{2} (1)$. Dấu bằng xẩy ra khi $x=y$.
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y} \forall x,y>0 (2)$. Dấu bằng xẩy ra khi $x=y$.
Không mất tính tổng quát ta giả sử $0\le c<b<a\le 2$.
Khi đó: ${{(a-c)}^{2}}\le {{a}^{2}}, {{(b-c)}^{2}}\le {{b}^{2}}$.
$P=\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(c-a)}^{2}}}\ge \dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}$.
Áp dụng (1) ta có: $\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\ge \dfrac{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}$.
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: $\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}\ge \dfrac{{{\left( \dfrac{4}{a-b+b} \right)}^{2}}}{2}=\dfrac{8}{{{a}^{2}}}$.
Do đó:
$P=\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(c-a)}^{2}}}\ge \dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\ge \dfrac{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\ge \dfrac{8}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{{{a}^{2}}}\ge \dfrac{9}{4}$.
Vậy GTNN của $P$ là $\dfrac{9}{4}$. Dấu bằng xẩy ra khi $\left\{ \begin{matrix}
a-b=b \\
c=0 \\
a=2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$ và các hoán vị của nó.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{{{(x+y)}^{2}}}{2} (1)$. Dấu bằng xẩy ra khi $x=y$.
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y} \forall x,y>0 (2)$. Dấu bằng xẩy ra khi $x=y$.
Không mất tính tổng quát ta giả sử $0\le c<b<a\le 2$.
Khi đó: ${{(a-c)}^{2}}\le {{a}^{2}}, {{(b-c)}^{2}}\le {{b}^{2}}$.
$P=\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(c-a)}^{2}}}\ge \dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}$.
Áp dụng (1) ta có: $\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\ge \dfrac{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}$.
Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: $\dfrac{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}\ge \dfrac{{{\left( \dfrac{4}{a-b+b} \right)}^{2}}}{2}=\dfrac{8}{{{a}^{2}}}$.
Do đó:
$P=\dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(b-c)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{(c-a)}^{2}}}\ge \dfrac{1}{{{(a-b)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}\ge \dfrac{{{\left( \dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}}{2}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}\ge \dfrac{8}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{{{a}^{2}}}\ge \dfrac{9}{4}$.
Vậy GTNN của $P$ là $\dfrac{9}{4}$. Dấu bằng xẩy ra khi $\left\{ \begin{matrix}
a-b=b \\
c=0 \\
a=2 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$ và các hoán vị của nó.
Đáp án C.