Cho $a,b,c$ là ba số thực dương đôi một phân biệt. Có bai nhiêu bộ số $\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn ${{a}^{b+2}}\le {{b}^{a+2}},{{b}^{c+2}}\le...

Cách giải:
Với mọi bộ số $\left( a;b;c \right)$ thỏa mãn $a+b+c=1$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{b}}{{b}^{c}}{{c}^{a}}\le ab+bc+ca \\
& {{a}^{c}}{{b}^{a}}{{c}^{b}}\le ab+bc+ca \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{b+2}}.{{b}^{c+2}}.{{c}^{a+2}}\le {{\left( abc \right)}^{2}}\left( ab+bc+ca \right)\left( 1 \right) \\
& {{a}^{c+2}}.{{b}^{a+2}}.{{c}^{b+2}}\le {{\left( abc \right)}^{2}}\left( ab+bc+ca \right)\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Cộng vế theo vế BĐT $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có ${{a}^{b+2}}.{{b}^{c+2}}.{{c}^{b+2}}.{{a}^{c+2}}.{{b}^{a+2}}.{{c}^{b+2}}\le 2{{\left( abc \right)}^{2}}\left( ab+bc+ca \right)\left( * \right).$
Mà ${{b}^{a+2}}\ge {{a}^{b+2}},{{c}^{b+2}}\ge {{b}^{c+2}},{{c}^{a+2}}\ge {{a}^{c+2}}$ nên từ $\left( * \right)$ ta có $2{{\left( abc \right)}^{2}}\left( ab+bc+ca \right)\ge {{\left( {{a}^{b+2}}.{{b}^{c+2}}.{{c}^{a+2}} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow abc\sqrt{2\left( ab+bc+ca \right)}\ge {{a}^{b+2}}.{{b}^{c+2}}.{{c}^{a+2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2\left( ab+bc+ca \right)}\ge {{a}^{b+1}}.{{b}^{c+1}}.{{c}^{a+1}}\ge \left( b+1 \right)a+\left( c+1 \right)b+\left( a+1 \right)c$
$\Leftrightarrow \sqrt{2\left( ab+bc+ca \right)}\ge \left( ab+bc+ca \right)+a+b+c$
$\Leftrightarrow \sqrt{2\left( ab+bc+ca \right)}\ge \left( ab+bc+ca \right)+1$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{ab+bc+ca} \right)}^{2}}-\sqrt{2}\sqrt{ab+bc+ca}+1\le 0$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{2}\le 0$ (vô lý).
Vậy không có bộ số $\left( a;b;c \right)$ nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.