Cho a> 0, b> 0 thỏa mãn $lo{{g}_{4a+5b+1}}\left(...

Phương pháp:
Sử dụng định lí Cô-si để suy ra dấu bằng rồi tìm a,b.
Cách giải:
Ta có $lo{{g}_{4a+5b+1}}\left( 16{{a}^{2}}+{{b}^{2}}~+1 \right)+lo{{g}_{8ab+1}}\left( 4a+5b+1 \right)=2$
Áp dụng định lí Cô-si ta có:
$16{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2\sqrt{16{{a}^{2}}.{{b}^{2}}}=8ab\Rightarrow 16{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge 8ab+1$
$\Rightarrow 2=lo{{g}_{4a+5b+1}}\left( 16{{a}^{2}}+{{b}^{2}}~+1 \right)+lo{{g}_{8ab+1}}\left( 4a+5b+1 \right)$ $\ge lo{{g}_{4a+5b+1}}\left( 8ab+1 \right)+lo{{g}_{8ab+1}}\left( 4a+5b+1 \right)$
Tiếp tục áp dụng định lí Cô- si ta có:
$lo{{g}_{4a+5b+1}}\left( 8ab+1 \right)+lo{{g}_{8ab+1}}\left( 4a+5b+1 \right)$ $\ge 2\sqrt{lo{{g}_{4a+5b+1}}\left( 8ab+1 \right).lo{{g}_{8ab+1}}\left( 4a+5b+1 \right)}=2$
Do đó dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& 4a=b \\
& {{\log }_{\left( 4a+5b+1 \right)}}\left( 8ab+1 \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a=b \\
& 4a+5b=8ab \\
\end{aligned} \right.\left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{3}{4} \\
& b=3 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $a+2b=\dfrac{3}{4}+2.3=\dfrac{27}{4}.~$